区间修改区间查询 / A Simple Problem with Integers

题目链接：ybt高效进阶4-2-4 / POJ 3468

题目大意

给你一个数组，要你维护区间加值和区间求和两个操作。

思路

这题其实可以用线段树来做，但是线段树长度比较大，我们考虑能不能用树状数组来做。

树状数组一般只能实现单点加值，我们考虑把区间加值化成单点加值。自然会想到用差分。

那我们考虑如何通过差分搞出答案：（先不管树状数组，然后到后面可以用树状数组就用它优化）
设差分数组是 $d_i$，真实维护的数是 $a_i$，那你可以得到 $a_i=\sum _{j=1}^i{d}_j$。
那求区间和自然是两个前缀和相减的方法，就前求前缀和：$\sum _{i=1}^n{a}_i=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^i{d}_j$

然后你观察每个 $d_j$ 出现的次数，$d_i$ 出现 $1$ 次，$d_{i-1}$ 是两次，以此类推 $d_1$ 是 $i$ 次。
那我们可以弄成这个样子：
$\sum _{i=1}^n{a}_i=\sum _{i=1}^n(d_i\times (n+1)-d_i\times i)$

那可以看到，我们要快速求两个值，$\sum _{i=1}^n{d}_i$ 和 $\sum _{i=1}^n(d_i\times i)$，那就弄两个树状数组来维护即可。

然后因为你是差分，你插入初始数的时候要记得要在后面一个位置减回去。

代码

ybt 版

#include<cstdio>
#define ll long long

using namespace std;

int n, q, x, op, l, r;
ll tree[1000001], treei[1000001];

void add(int x, ll y) {
    
    
	int m = x;
	for (; x <= n; x += x & (-x)) {
    
    
		tree[x] += y;
		treei[x] += y * m;
	}
}

ll get_ans(int x) {
    
    
	ll re = 0;
	int m = x;
	for (; x; x -= x & (-x)) {
    
     
		re += tree[x] * (m + 1) - treei[x];
	}
	return re;
}

int main() {
    
    
	scanf("%d %d", &n, &q);
	
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
    
		scanf("%d", &x);
		add(i, 1ll * x);
		add(i + 1, -1ll * x);
	}
	
	for (int i = 1; i <= q; i++) {
    
    
		scanf("%d", &op);
		if (op == 1) {
    
    
			scanf("%d %d %d", &l, &r, &x);
			add(l, 1ll * x);
			add(r + 1, -1ll * x); 
		}
		else {
    
    
			scanf("%d %d", &l, &r);
			printf("%lld\n", get_ans(r) - get_ans(l - 1));
		}
	}
	
	return 0;
}

POJ 版

#include<cstdio>
#define ll long long

using namespace std;

int n, q, x, l, r;
char op;
ll tree[1000001], treei[1000001];

void add(int x, ll y) {
    
    
	int m = x;
	for (; x <= n; x += x & (-x)) {
    
    
		tree[x] += y;
		treei[x] += y * m;
	}
}

ll get_ans(int x) {
    
    
	ll re = 0;
	int m = x;
	for (; x; x -= x & (-x)) {
    
     
		re += tree[x] * (m + 1) - treei[x];
	}
	return re;
}

int main() {
    
    
	scanf("%d %d", &n, &q);
	
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
    
		scanf("%d", &x);
		add(i, 1ll * x);
		add(i + 1, -1ll * x);
	}
	
	for (int i = 1; i <= q; i++) {
    
    
		op = getchar();
		while (op != 'Q' && op != 'C') op = getchar();
		if (op == 'C') {
    
    
			scanf("%d %d %d", &l, &r, &x);
			add(l, 1ll * x);
			add(r + 1, -1ll * x); 
		}
		else {
    
    
			scanf("%d %d", &l, &r);
			printf("%lld\n", get_ans(r) - get_ans(l - 1));
		}
	}
	
	return 0;
}