01背包
问题: N N N个物品,有容量为 V V V的背包,第 i i i个物品的体积为 v i v_i vi,价值为 w i w_i wi每个物品最多被挑选一次,如何使在不超过背包的容积的情况下选择出总价值最大的挑选情况.
用 f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j]表示从前 i i i个物品中进行挑选,体积不超过 j j j的所有选法中的最大价值
f [ i ] [ j ] = { f [ i − 1 ] [ j − v i ] 选 择 第 i 个 物 品 f [ i − 1 ] [ j ] 不 选 第 i 个 f[i][j]=\begin{cases} f[i-1][j-v_i] & 选择第i个物品 \\ f[i-1][j] & 不选第i个 \end{cases} f[i][j]={ f[i−1][j−vi]f[i−1][j]选择第i个物品不选第i个
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=0;j<=m;j++)
{
f[i][j]=f[i-1][j];//不选第i个
if(j>=v[i]) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]); //选第i个
}
}
优化
考虑使用滚动数组进行优化,可以发现对于 f [ i ] f[i] f[i]状态,其只用到了 f [ i − 1 ] f[i-1] f[i−1]这个状态, f [ 0 到 i − 2 ] f[0到i-2] f[0到i−2]未使用到,同时第二维状态总是 ≤ j \leq j ≤j,因此我们可以将数组优化到一维表示,同时因为计算 f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j]时需要用到, f [ i − 1 ] [ j − v [ i ] ] f[i-1][j-v[i]] f[i−1][j−v[i]],我们需将j从大到小遍历.
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=m;j>=v[i];j--)
{
f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
}
}
完全背包
问题: N N N个物品,有容量为 V V V的背包,第 i i i个物品的体积为 v i v_i vi,价值为 w i w_i wi每个物品可被挑选无限次,如何使在不超过背包的容积的情况下选择出总价值最大的挑选情况
用 f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j]表示从前 i i i个物品中进行挑选,体积不超过 j j j的所有选法中的最大价值.
可以很明显的思考得出,我们可以通过遍历,对每种物品采用选择k个的情况,得出最终解
for(int i=i;i<=n;i++){
for(int j=0;j<=m;j++){
for(int k=0;k*v[i]<=j;k++){
f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]*k]+w[i]*k);
}
}
}
优化
我们对状态转移公式进行推导:
f [ i ] [ j ] = M a x ( f [ i − 1 ] [ j ] , f [ i − 1 ] [ j − v I ] + w i , f [ i − 1 ] [ j − 2 v i ] + 2 w i , f [ i − 1 ] [ j − 3 v i ] + 3 w i , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ) f[i][j]=Max(f[i-1][j],f[i-1][j-v_I]+w_i,f[i-1][j-2v_i]+2w_i,f[i-1][j-3v_i]+3w_i,·······) f[i][j]=Max(f[i−1][j],f[i−1][j−vI]+wi,f[i−1][j−2vi]+2wi,f[i−1][j−3vi]+3wi,⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅)
f [ i ] [ j − v ] = M a x ( f [ i − 1 ] [ j − v ] , f [ i − 1 ] [ j − 2 v I ] + w i , f [ i − 1 ] [ j − 3 v i ] + 2 w i , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ) f[i][j-v]=Max(f[i-1][j-v],f[i-1][j-2v_I]+w_i,f[i-1][j-3v_i]+2w_i,·······) f[i][j−v]=Max(f[i−1][j−v],f[i−1][j−2vI]+wi,f[i−1][j−3vi]+2wi,⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅)
对状态转移公式发现,箭头指向式子相较于原式子少了一个 w i w_i wi,且 f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j]可由 f [ i ] [ j − v ] f[i][j-v] f[i][j−v]推导得出,可得最终式:
f [ i ] [ j ] = M a x ( f [ i − 1 ] [ j ] , f [ i ] [ j − v i ] + w i ) f[i][j]=Max(f[i-1][j],f[i][j-v_i]+w_i) f[i][j]=Max(f[i−1][j],f[i][j−vi]+wi)
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=0;j<=m;j++){
f[i][j]=f[i-1][j];
if(j>=v[i]) f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
}
我们可以发现得出的式子与我们01背包得出的式子有点相似,不同之处在于算 f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j]时需要用到的是 f [ i ] [ j − v [ i ] ] f[i][j-v[i]] f[i][j−v[i]],我们需将j从小到大遍历.
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=v[i];j<=m;j++)
f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
多重背包
问题: N N N个物品,有容量为 V V V的背包,第 i i i个物品的体积为 v i v_i vi,价值为 w i w_i wi每个物品最多可被挑选 s i s_i si次,如何使在不超过背包的容积的情况下选择出总价值最大的挑选情况.
我们可以发现,多重背包相比于完全背包问题,其实就是将无限次改为了有限次,那么即在枚举k时,我们可以再将k做限制即 k ≤ s i k\leq s_i k≤si.
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=0;j<=m;j++){
for(int k=0;k<=s[i]&&k*v[i]<=j;k++){
f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
}
}
}
优化
采用二进制优化,可以思考将一组物品集合在一起认为是一件物品。优化后即变成了01背包问题.
for(int i=1;i<=n;i++){
int k=1;
int a,b,c;
cin>>a>>b>>c;
while(k<=c){
cnt++;
v[cnt]=a*k;
w[cnt]=b*k;
c-=k;
k*=2;
}
if(c>0){
cnt++;
v[cnt]=c*a;
w[cnt]=c*b;
}
}
n=cnt;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=m;j>=v[i];j--){
f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
}
}
分组背包
问题:有 N N N组物品和一个容量是 V V V的背包.每组物品有若干个,同一组内的物品最多只能选一个.每件物品的体积是 v i j v_{ij} vij,价值是 w i , j w_{i,j} wi,j,其中 i i i是组号, j j j是组内编号.求解将哪些物品装入背包,可使物品总体积不超过背包容量,且总价值最大.
我们可以考虑对每组物品,选择其中一个或者不选,进行枚举即可
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=0;j<=m;j++){
f[i][j]=f[i-1][j]; //不选
for(int k=0;k<s[i];k++){
//选
if(j>=v[i][k]) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i][k]]+w[i][k]);
}
}
}
优化
因为计算 f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j]时只用到了 f [ i − 1 ] [ ] f[i-1][ ] f[i−1][],所以可以仿照01背包的套路逆向枚举体积,从大到小
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = m; j >= 0; j -- )
for (int k = 0; k < s[i]; k ++ )
if (v[i][k] <= j)
f[j] = max(f[j], f[j - v[i][k]] + w[i][k]);