3、窄带高斯白噪声

  下面我们用分析窄带高斯白噪声的复包络（低通）表示。对于窄带高斯白噪声$n(t)$，我们可以求得它的解析信号以及复包络分别为
$$z_n(t)=n(t)+j\hat{n}(t),$$进一步，可以得到$x(t)$的复包络信号为
$$\begin{array}{rl}{n}_L(t)& =z_n(t)e^{-j2\pi f_{0}t}\\ & =n_c(t)+j{n}_s(t)\end{array}$$这里的$n_c(t)$和$n_s(t)$分别为$n(t)$的同相和正交分量。因此，我们可以将$n(t)$表示为
$$n(t)=n_c(t)\cos 2\pi f_{0}t-n_s(t)\sin 2\pi f_{0}t.$$这意味着，我们可以将带通噪声$n(t)$看成是两个低通噪声，$n_c(t)$和$n_s(t)$分别乘以同相载波$\cos 2\pi f_{0}t$和正交载波$-\sin 2\pi f_{0}t$。需要注意的是，此时带通噪声$n(t)$、复包络同相分量$n_c(t)$和正交分量$n_s(t)的均值和方差满足
$$\begin{array}{rl}& \mathrm{E}[n(t)]=\mathrm{E}[n_c(t)]=\mathrm{E}[n_s(t)]=0,\\ & \mathrm{E}[n^2(t)]=\mathrm{E}[n_c^2(t)]=\mathrm{E}[n_s^2(t)]={\sigma }_n^2.\end{array}$$即它们均值都为零，功率相等，我们用${\sigma }_n^2$表示。

  我们以白噪声通过DSB-SC解调器为例来分析这个问题，如图1所示。

  
在图1中，$n_i(t)$为理想白噪声，其功率谱密度为
$$P_{N_i}(f)=\frac{n_0}{2},-\infty <f<\infty ,$$经过带通滤波器$H_1(f)$之后的输出$n(t)$的功率谱密度为
$$P_N(f)=P_{N_i}(f)|H_1(f){|}^2,$$这里的$|H_1(f){|}^2$为滤波器|H_1(f)|的功率传递函数。由于$H_1(f)=\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(\frac{f-f_0}{B})+\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(\frac{f+f_0}{B})$，因此可以得到
$$P_N(f)=\{\begin{array}{rl}\frac{n_0}{2},& f_0-\frac{B}{2}<|f|<f_0+\frac{B}{2}\\ 0,& 其它\end{array}$$或者表示为
$$P_N(f)=\frac{n_0}{2}[\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(\frac{f-f_0}{B})+\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(\frac{f+f_0}{B})].$$$P_{N_i}(f)$与$P_N(f)$的示意图分别如图2(a)(b)所示。

  下面我们来分析带通随机过程$n(t)$的复包络。显然有
$$n(t)=n_c(t)\cos 2\pi f_{c}t-n_s(t)\sin 2\pi f_{c}t.$$进一步，如图(1)所示，带通白噪声$n(t)$与频率为$f_c$的载波信号相乘，即
$$\begin{array}{rl}{n}_d(t)& =n(t)\cos 2\pi f_{c}t\\ & =n_c(t){\cos }^{2}2\pi f_{c}t-n_s(t)\sin 2\pi f_{c}t\cos 2\pi f_{c}t\\ & =\frac{1}{2}{n}_c(t)+\frac{1}{2}{n}_c(t)\cos 4\pi f_{c}t-\frac{1}{2}{n}_s(t)\sin 4\pi f_{c}t\end{array}$$显然，经过低通滤波器$H_2(f)$，可以将两倍载频处的噪声滤掉，得到
$$n_o(t)=\frac{1}{2}{n}_c(t),$$其平均功率为
$$\begin{array}{r}{P}_{N_o}(f)=\frac{1}{4}\mathrm{E}[n_c^2(t)]=\frac{{\sigma }_n^2}{4}=\frac{1}{4}{P}_N(f),\end{array}$$这里$P_N(f)$的带通白噪声$n(t)$的平均功率。在《MATLAB通信仿真实例2：白噪声通过DSB-SC解调器》中，我们用功率谱密度分析了带通噪声通过DSB-SC解调器各点的功率谱密度，大家可以与这里讨论的带通噪声低通表示对照来看，会发现最终对输出功率的分析是一致的。