一、题目
0,1,n-1这n个数字排成一个圆圈,从数字0开始,每次从这个圆圈里删除第m个数字。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。
例如,0、1、2、3、4这5个数字组成一个圆圈,从数字0开始每次删除第3个数字,则删除的前4个数字依次是2、0、4、1,因此最后剩下的数字是3。
示例 1:
输入: n = 5, m = 3
输出: 3
示例 2:
输入: n = 10, m = 17
输出: 2
限制:
- 1 <= n <= 10^5
- 1 <= m <= 10^6
二、解决
1、暴力模拟(勉强通过)
思路:
当前删除位置idx
,下一个删除位置是idx + m
。
但是,由于当前位置数字删除,后面数字会前移一位,所以实际下一个位置是idx + m - 1
。数字到末尾会从头开始数,最后取模下,就是(idx + m - 1) % n
。
附:ArrayList.remove()代码
- LinkedList.remove() VS ArrayList.remove()
LinkedList
的remove()
时间复杂度是 O ( n ) O(n) O(n),与ArrayList相同。但ArrayList
是内存连续空间拷贝,相比LinkedList
大量非连续地址访问,ArrayList
性能很OK。
代码:
class Solution {
public int lastRemaining(int n, int m) {
ArrayList<Integer> list = new ArrayList<>(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
list.add(i);
}
int idx = 0;
while (n > 1) {
idx = (idx + m - 1) % n;
list.remove(idx);
n--;
}
return list.get(0);
}
}
时间复杂度: O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)
空间复杂度: O ( n ) O(n) O(n)
2、数学解法
思路:
1、这题是著名约瑟夫环问题,有数学解法。
全文重点提示:只关心最终活着的那个人的序号变化。
2、问题:给每个人一个编号(索引值),每个人用字母代替。
下面是N=8,m=3
的例子:F(n, m)
表示为最后剩下那个人的索引号,因此只关心最后剩下来这个人的索引号的变化情况即可:
从8个人开始,每次杀掉一个人(位置为index),去除被杀的人(index),然后把那个人之后的第一个人(index+1)作为开头,重新编号。
- 第一次C被杀掉,人数变成7,D作为开头(最终活下来的G的编号从6变成3)
- 第二次F被杀掉,人数变成6,G作为开头(最终活下来的G的编号从3变成0)
- 第三次A被杀掉,人数变成5,B作为开头(最终活下来的G的编号从0变成3)
- 以此类推,当只剩一个人时,他的编号必定为0!(重点)
3、最终活着的人编号反推
知道了G的索引号的变化过程,那反推一下,从 N=7 到 N=8 的过程。
由上可得: f ( 8 , 3 ) = [ f ( 7 , 3 ) + 3 ] % 8 f(8, 3) = [f(7, 3)+3] \% 8 f(8,3)=[f(7,3)+3]%8
泛化推广,即 f ( n , m ) = [ f ( n − 1 , m ) + m ] % m f(n, m) = [f(n-1, m) + m] \% m f(n,m)=[f(n−1,m)+m]%m
4、递推公式导出
f ( n , m ) = { 0 n=0 [ f ( n − 1 , m ) + m ] % n n>1 f(n, m)=\left\{ \begin{aligned} 0 && \text{ n=0}\\ [f(n-1, m) + m]\%n && \text{ n>1} \end{aligned} \right. f(n,m)={ 0[f(n−1,m)+m]%n n=0 n>1
更有逻辑的推导可参看7-28 猴子选大王 (20 分),非常严格的数学推导可以看关于约瑟夫环问题递推公式的证明。
代码:
class Solution {
public int lastRemaining(int n, int m) {
int ans = 0;
// 最后一轮剩下2个人,所以从2开始反推
for (int i = 2; i <= n; i++) {
ans = (ans + m) % i;
}
return ans;
}
}
时间复杂度: O ( n ) O(n) O(n)
空间复杂度: O ( 1 ) O(1) O(1)