题目来自LeetCode,链接:面试题62. 圆圈中最后剩下的数字。具体描述为:0,1,…,n-1这n个数字排成一个圆圈,从数字0开始,每次从这个圆圈里删除第m个数字。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。例如,0、1、2、3、4这5个数字组成一个圆圈,从数字0开始每次删除第3个数字,则删除的前4个数字依次是2、0、4、1,因此最后剩下的数字是3。
示例1:
输入: n = 5, m = 3
输出: 3
示例2:
输入: n = 10, m = 17
输出: 2
相信学过算法的同学一看就知道这就是约瑟夫问题,所以就可以有两种方法。第一种就是模拟整个删除过程,这种的时间复杂度达到了 。
JAVA版代码如下:
class Solution {
public int lastRemaining(int n, int m) {
List<Integer> circle = new LinkedList<>();
for (int i = 0; i < n; ++i) {
circle.add(i);
}
int removeIdx = (m - 1) % n;
while (n > 1) {
circle.remove(circle.get(removeIdx));
removeIdx = (removeIdx + m - 1) % (--n);
}
return circle.get(0);
}
}
毫无疑问地就超时了,所以这道题还是得用数学来解决。
首先来看第一次删除的是第
个数(注意索引从0开始所以删除的是数字k-1),也就是剩下了
那么接下来会怎么删除呢,因为是从第k个数开始再往后数m个数,所以我们可以把上面给重新排列如下:
不妨将其映射到
那不就变成了在n-1个数中删除第 个数了吗,总是这样下去最终会变成只剩一个数0的情况(也就是式(2)的终极情况)。那么问题来了,如何确定这个最终的0对应于最开始n个数中的哪一个呢。这也不难,只需要看式(2)到式(1)是怎样的关系就好了,简单观察一下可知两者的关系为 ,类似地当有n-1个数时此关系为 。现在只需要确定最终剩下的0对应于n个数的哪个,反复迭代即可:
JAVA版代码如下:
class Solution {
public int lastRemaining(int n, int m) {
int result = 0;
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
result = (result + m) % i;
}
return result;
}
}
提交结果如下:
Python版代码如下:
class Solution:
def lastRemaining(self, n: int, m: int) -> int:
result = 0
for i in range(2, n + 1):
result = (result + m) % i
return result
提交结果如下: