前言
我们通过几篇文章介绍了树的概念以及树的相关应用。本文给大家介绍数据结构中最后一种数据结构——图。本文分别从图的概念、图的两种遍历等角度给大家介绍图的相关知识。首先我们介绍图相关的基本概念。
一、图的基本介绍
1、图的意义
前面我们介绍了树以及线性表，线性表的局限性在于只有一个直接前驱和一个直接后继的关系。其次，树也只能有一个直接前驱也就是父节点，当我们需要表示多对多的关系时，这时候我们前面学到的这些数据结构就无法满足了，只能用我们今天介绍的图去处理。图是一种数据结构，其中的结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称之为边，结点也称顶点，具体的如下图所示：
2、图的常用概念
图常用的概念有顶点、边、路径、无向图(顶点之间的连接没有方向，例如A-B,既可以是A->B，也可以是B->A)，具体如下图所示：
有向图(顶点之间的连接是有方向的，比如A-B，只能是A->B，不能是B->A)、带权图(这种边带权值的图也叫网)，具体分别如下图所示：
二、图的表示方式
图的表示方法有两种：二维数组表示，也叫邻接矩阵；链表表示，即：邻接表。
邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于n个顶点的图而言，矩阵是通过row和col表示的是1……n个点，具体如下所示：
邻接矩阵需要为每个顶点都分配n个边的空间，其实有很多边都是不存在的，会造成空间的一定损失。而邻接表的实现只是关心存在的边，不关心不存在的边，因此，没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成，具体如下所示：
不过这里需要说明的是：
1、标号为0的结点的相关联的结点为1 2 3 4
2、标号为1的结点的相关联的结点为0 4
3、标号为2的结点的相关联的结点为0 4 5
接下来，以此类推……
三、图的遍历
所谓图的遍历，即对结点的访问。一个图有那么多的结点，如何遍历这些结点，需要特定策略，一般有两种访问策略。深度优先遍历和广度优先遍历。首先向大家介绍图的深度优先遍历。
1、图的深度优先遍历
深度优先遍历的基本思想如下：
1、深度优先遍历，从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点，我们可以这样理解上面的过程：每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。
2、从上面的过程可以看出：这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个节点的所有邻接节点进行横向访问。显然，这是一个递归的过程。
通过上述对图的深度优先遍历思路的描述，接下来介绍深度优先遍历的具体步骤：
- 1、访问初始结点v，并标记结点v已被访问。
- 2、查找结点v的第一个邻接结点w。
- 3、若w存在，则继续执行4，如果w不存在，则回到第1步，将从v的下一个结点继续
- 4、若w未被访问，对w进行深度优先遍历递归，即：把w当做另一个v，然后进行步骤1,2,3
- 5、查找结点v的w邻接结点的下一个邻接结点，转到步骤3
具体分析的示意图如图所示：
其中0表示不能直接连接，1表示能够直接连接。
2、图的广度优先遍历
图的广度优先遍历类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点顺序，以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点。具体的遍历步骤如下：
- 1、访问初始结点v并标记v已被访问
- 2、结点v入队列
- 3、当队列非空时，继续执行，否则算法结束
- 4、出队列，取得队头结点u
- 5、查找结点u的第一个邻接结点w
- 6、若结点u的邻接结点w不存在，则转到步骤3；否则继续循环执行以下三个步骤
6.1、若结点w尚未被访问，则访问结点w并标记已访问
6.2、结点w入队列
6.3、查找结点u的继w邻接结点后的下一个邻接结点w，转到步骤6
具体转化的结果如下：
接下来，我们用java实现这两种遍历
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.LinkedList;
public class Graph {
private ArrayList<String> vertexList; //存储顶点集合
private int[][] edges; //存储图对应的邻结矩阵
private int numOfEdges; //表示边的数目
//定义给数组boolean[], 记录某个结点是否被访问
private boolean[] isVisited;
public static void main(String[] args) {
//测试一把图是否创建ok
int n = 8; //结点的个数
//String Vertexs[] = {"A", "B", "C", "D", "E"};
String Vertexs[] = {
"1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8"};
//创建图对象
Graph graph = new Graph(n);
//循环的添加顶点
for(String vertex: Vertexs) {
graph.insertVertex(vertex);
}
graph.insertEdge(0, 1, 1);
graph.insertEdge(0, 2, 1);
graph.insertEdge(1, 3, 1);
graph.insertEdge(1, 4, 1);
graph.insertEdge(3, 7, 1);
graph.insertEdge(4, 7, 1);
graph.insertEdge(2, 5, 1);
graph.insertEdge(2, 6, 1);
graph.insertEdge(5, 6, 1);
//显示一把邻结矩阵
graph.showGraph();
//测试一把，我们的dfs遍历是否ok
System.out.println("深度遍历");
graph.dfs(); // A->B->C->D->E [1->2->4->8->5->3->6->7]
// System.out.println();
System.out.println("广度优先!");
graph.bfs(); // A->B->C->D-E [1->2->3->4->5->6->7->8]
}
//构造器
public Graph(int n) {
//初始化矩阵和vertexList
edges = new int[n][n];
vertexList = new ArrayList<String>(n);
numOfEdges = 0;
}
public int getFirstNeighbor(int index) {
for(int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
if(edges[index][j] > 0) {
return j;
}
}
return -1;
}
//根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接结点
public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
for(int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
if(edges[v1][j] > 0) {
return j;
}
}
return -1;
}
//深度优先遍历算法
//i 第一次就是 0
private void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
//首先我们访问该结点,输出
System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
//将结点设置为已经访问
isVisited[i] = true;
//查找结点i的第一个邻接结点w
int w = getFirstNeighbor(i);
while(w != -1) {
//说明有
if(!isVisited[w]) {
dfs(isVisited, w);
}
//如果w结点已经被访问过
w = getNextNeighbor(i, w);
}
}
//对dfs 进行一个重载, 遍历我们所有的结点，并进行 dfs
public void dfs() {
isVisited = new boolean[vertexList.size()];
//遍历所有的结点，进行dfs[回溯]
for(int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if(!isVisited[i]) {
dfs(isVisited, i);
}
}
}
//对一个结点进行广度优先遍历的方法
private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
int u ; // 表示队列的头结点对应下标
int w ; // 邻接结点w
//队列，记录结点访问的顺序
LinkedList queue = new LinkedList();
//访问结点，输出结点信息
System.out.print(getValueByIndex(i) + "=>");
//标记为已访问
isVisited[i] = true;
//将结点加入队列
queue.addLast(i);
while( !queue.isEmpty()) {
//取出队列的头结点下标
u = (Integer)queue.removeFirst();
//得到第一个邻接结点的下标 w
w = getFirstNeighbor(u);
while(w != -1) {
//找到
//是否访问过
if(!isVisited[w]) {
System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>");
//标记已经访问
isVisited[w] = true;
//入队
queue.addLast(w);
}
//以u为前驱点，找w后面的下一个邻结点
w = getNextNeighbor(u, w); //体现出我们的广度优先
}
}
}
//遍历所有的结点，都进行广度优先搜索
public void bfs() {
isVisited = new boolean[vertexList.size()];
for(int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if(!isVisited[i]) {
bfs(isVisited, i);
}
}
}
//图中常用的方法
//返回结点的个数
public int getNumOfVertex() {
return vertexList.size();
}
//显示图对应的矩阵
public void showGraph() {
for(int[] link : edges) {
System.err.println(Arrays.toString(link));
}
}
//得到边的数目
public int getNumOfEdges() {
return numOfEdges;
}
//返回结点i(下标)对应的数据 0->"A" 1->"B" 2->"C"
public String getValueByIndex(int i) {
return vertexList.get(i);
}
//返回v1和v2的权值
public int getWeight(int v1, int v2) {
return edges[v1][v2];
}
//插入结点
public void insertVertex(String vertex) {
vertexList.add(vertex);
}
public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
edges[v1][v2] = weight;
edges[v2][v1] = weight;
numOfEdges++;
}
}
具体执行结果如图所示
最后，我们以下图为例，分别给出广度和深度两种优先遍历的结果，让大家更直观的对这两种方式有一种直观的影响。
其深度优先遍历的结果为
1-2-4-8-5-3-6-7
其广度优先遍历的结果为1-2-3-4-5-6-7-8
至此，我们数据结构的内容已经介绍完毕，下篇文章开始为大家介绍算法的相关内容。
总结
我们通过前面的几篇文章为大家介绍了数据结构的相关知识，包括数据工具的推荐、十大排序算法、数据结构与算法概述、链表、栈、队列、排序以及查找算法以及树和图。下篇文章开始，我们给大家介绍算法的部分。其实数据结构与算法是特别重要的，在编程中有至关重要的地位，因此，需要我们特别的掌握。生命不息，奋斗不止，我们每天努力，好好学习，不断提高自己的能力，相信自己一定会学有所获。加油！！！