不定积分

不定积分就是导数的逆运算

考试内容概要

1. 不定积分的概念和性质
2. 不定积分的基本公式
3. 三种积分法，两类换元和一个分部积分法
4. 三种常见可积分函数的积分：有理式，三角有理式，有简单无理式的积分

常见考题

比较单一，一般是给一个不定积分来求

方法是两种换元一个分部积分

1. 不定积分的概念和性质

• 不定积分的定义是求导逆运算

• 找到一个原函数只需要加常数就等于找到一组原函数

• 不定积分的几何意义为一组曲线

• 是否存在原函数

  • 如果在区域内连续，则一定有原函数：具体原函数为变上限积分函数
  • 如果存在第一类间断点，则一定没有原函数
  • 一个函数如果连续则一定有原函数，如果一个函数有原函数，不一定要求连续
    • 推广：类比于一个函数求导之后，导函数不一定连续，即为之前的结论：一个函数处处可导，但导函数在一点的极限却不一定存在
  • 如果不连续，但有原函数，只可能是第二类间断点

2. 不定积分常用拆项积分

3. 三种主要积分法

   因为积分是对求导的逆运算，所以需要将求导的方法拿过来进行积分

   求导的核心方法：

   1. 有理运算：+，-，*，/
   2. 复合函数求导

   求导中有理运算：+，- 在积分中用于拆项

   求导的乘法变成积分的分部积分法

   求导的复合变成积分的两种换元法

   • 第一类换元法：将求导的凑进dx里面，然后方便积分

     • 注意：如果是下面是根号二次式，上面是一次式，需要将上面凑成下面导数的形式，然后进行拆项

   • 第二类换元法：将x换成t的函数，而且x(t)必须单调可导，具有反函数，然后将f(x),dx替换成f(t)x’(t)dt，最后积分出F(t)，然后把t用x的反函数表达出来即可

     • 几个常用的场景使用第二类换元法
     • √a^x + x^2,x = atant
     • √a^x - x^2,x = asint
     • √x^2 - a^2,x = asect

   • 分部积分法：

     • 什么时候用：两类不同的函数相乘的时候使用
     • 怎么用（三种情况）
       • 1. 多项式 * e/三角函数，留多项式，将后面的放到d里面
         2. 多项式 * 反三角函数/Inx，将多项式放进去，然后可以让多项式降阶
         3. 非多项式乘积，任意放，但一定需要积分是两次或以上

   • 三种常见积不出的积分：e^(x2),sinx/x,cos/x

   • 三种常见可积函数

     1. 有理函数积分：

        1. 一般方法
        2. 特殊方法

     2. 三角有理式：sinx,cosx经过有利运算的积分式

        如果是-sinx = -R(sinx) ，则凑dcosx

        如果是-cosx = -R(cosx)，则凑dsinx

        如果是两个都是-，则凑dtanx

        最后方法将tanx/2 = t带入

     3. 简单无理函数积分：X和根号下（分母和分子都是一次式）

        将根号记为t

总结

不定积分为“2+3+3”

两个概念：原函数和不定积分

三种方法：两种换元和分部积分

三种可积：三角有理式，简单无理式积分，有理式积分