1. 背景
前段时间复习完了高数第四章的内容,我参考《复习全书·基础篇》和老师讲课的内容对这一章的知识点进行了整理,形成了这篇笔记,方便在移动设备上进行访问和后续的补充修改。
1. 不定积分的概念与性质
1.1. 不定积分
f(x)的原函数的全体成为
f(x)的不定积分,记为
∫f(x)dx.
如果
F(x)为
f(x)的一个原函数,则有
∫f(x)dx=F(x)+C(4.1)
其中
C为任意常数
1.2. 原函数存在定理
若
f(x)在区间
I上连续,则
f(x)在区间
I上一定存在原函数
若
f(x)在区间
I上有第一类间断点,则
f(x)在区间
I上没有原函数
1.3. 不定积分的性质
(∫f(x)dx)′=f(x),d(∫f(x)dx)=f(x)dx(4.2)
∫f′(x)dx=f(x)+C,∫df(x)dx=f(x)+C(4.3)
∫f(x)±g(x)dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx(4.4)
∫kf(x)dx=k∫f(x)dx,(k=C)(4.5)
2. 不定积分基本公式
∫0dx=C(4.6)
∫xadx=a+11xα+1+C,(α=−1)(4.7)
∫x1dx=ln∣x∣+C(4.8)
∫axdx=lnaax+C,(a>0,a=1)(4.9)
∫exdx=ex+C(4.10)
∫sinxdx=−cos(x)+C(4.11)
∫cos(x)dx=sin(x)+C(4.12)
∫sec2xdx=tan(x)+C(4.13)
∫csc2xdx=−ctgx+C(4.14)
∫secxtanxdx=secx+C(4.15)
∫cscxctgxdx=−cscx+C(4.16)
∫1−x2
1dx=arcsinx+C(4.17)
∫1−x2
1dx=∫a1−(ax
)2dxdx=∫1−(ax
)2d(ax)dx=arcsinx+C
∫1+x21dx=arctanx+C(4.18)
∫a2+x21dx=a1arctanax+C(4.19)
∫x2−a21dx=2a1ln∣x+ax−a∣+C(4.20)
∫x2+a2
1dx=ln(x+x2+a2
)+C(4.21)
- 证明4.21: 第二类换元法,令
x=atant
∫x2+a2
1dx=∫asectasec2tdt=∫sectdt=ln∣sect+tant∣+C=ln∣x+x2+a2
∣−lna+C=ln∣x+x2+a2
∣+C
∫x2−a2
1dx=ln∣x+x2−a2
∣+C(4.22)
- 证明4.22: 第二类换元法,令
x=asect
∫x2−a2
1dx=∫atantasecttantdt=∫sectdt=ln∣sect+tant∣+C=ln∣x+x2−a2
∣−lna+C=ln∣x+x2−a2
∣+C
∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+C(4.23)
∫secxdx=∫secx+tanxsecx[secx+tanx]dx=∫secx+tanxd(secx+tanx)=ln∣secx+tanx∣+C=∫secx+tanxsec2x+secxtanxdx
∫cscxdx=−ln∣cscx+ctgx∣+C(4.24)
∫cscxdx=∫cscx+ctgxcscx[cscx+ctgx]dx=∫cscx+ctgxd(cscx+ctgx)=ln∣cscx+ctgx∣+C=∫cscx+ctgxcsc2x+cscxctgxdx
3. 三种主要积分法
3.1. 第一换元积分法
- 定理 设
∫f(u)du=F(u)+C,
u=φ(x)存在连续导数,则
∫f[φ(x)]φ′(x)dx=∫f[φ(x)]dφx=F(φ(x))+C(4.25)
3.2. 第二换元积分法
- 定理 设
x=φ(x)是单调的、可导的函数,并且
φ′(t)=0,又
∫f[φ(t)]φ′(t)dt=F(φ(t))+C
则
∫f(x)dx=∫f[φ(t)]φ′(t)dt=F(φ(t))+C=F[φ−1(x)]+C(4.26)
注:式中对
φ(t)求导的部分容易被遗漏
-
被积函数含有
a2−x2
,令
x=asinx(或
acosx).
-
被积函数含有
x2+a2
,令
x=atanx.
-
被积函数含有
x2−a2
,令
x=asecx.
3.3. 分部积分法
∫udv=uv−∫vdu(4.27)
- 把多项式以外的函数凑进微分号,因为对多项式求导若干次后能够将其化为常数项
∫pn(x)eαxdx,∫pn(x)sinαxdx,∫pn(x)cosαxdx
- 把指数函数或三角函数凑进微分号都可以,但把指数凑进去更简单
∫eαxsinβxdx,∫eαxcosβx
- 把多项式凑进微分号,多项式以外的函数方便求导,不方便积分
∫pn(x)lnxdx,∫pn(x)arctanxdx,∫pn(x)arcsinxdx
4. 三类常见可积函数积分
4.1. 有理函数
- 有理函数积分
∫R(x)dx
- 一般方法(部分分式法)
- 特殊方法(加项减项拆或凑微分降幂)
4.2. 三角有理式积分
- 三角有理式积分
∫R(sinx,cosx)dx
- 一般方法(万能代换)令
tan2x=t.
∫R(sinx,cosx)dx=∫R(1+t22t,1+t21−t2)dt(4.28)
- 特殊方法(三角变形,换元,分解)
- 若
R(−sinx,cosx)=−R(sinx,cosx),则令
u=cosx,或凑
dcosx.
- 若
R(sinx,−cosx)=−R(sinx,cosx),则令
u=sinx,或凑
dsinx.
- 若
R(−sinx,−cosx)=R(sinx,cosx),则令
u=tanx,或凑
dtanx.
4.3. 简单无理函数积分
- 简单无理函数积分 $
\int R(x, \sqrt[n]{\dfrac{ax + b}{cx + d}}) dx$
令
ncx+dax+b
=t,将其转化为有理函数积分进行计算
5. 总结