导学

• 这一篇主要介绍数据运算
  

进制运算

• 进位制是一种计数方式，也称进位计数法
• 使用的数字符号的数目称为此进制的基数或底数，例如十进制0~9
• 常见的还有二进制、八进制、十六进制（都是计算机喜欢的）

二进制表示

• 看下面两个例子：
  
  • 注意是从0开始的
• 二进制转十进制：按权展开法
  • 和上面的例子类似，基数的幂按位相乘再相加
    
  • 小数同理：从-1开始
    
• 十进制转二进制：重复相除法，除2取余
  
  • 对小数，则要用重复相乘法：乘2取整
    

二进制数据

• 有符号数、无符号数，反码/原码/补码

有符号/无符号

• 有符号数：用0表示正，1表示负
• 无符号数：没有符号位，可视为非负数

表示法

• 二进制的原码表示：
  
  • 十进制转成二进制后即是有符号源码
  • 这样表示有两个问题：0有两种00和10即+0和-0
  • 两个符号不同的操作数运算尤其复杂
• 补码表示法
  • 由于原码不好用，于是出现了正数代替负数、加法代替减法的补码
  • 但是，注意，我们这里先看如何表示，不要关注运算！如果想提前理解：推荐链接
  • 补码定义：
    
  • 乍一看挺难过的吧？没事，看个例子：最前面的是符号位
    
  • 这里的n为什么是4？这个公式的原理是什么？在运算部分解释
    
• 反码表示法
  • 为了进一步揭示规律，方便后面的运算，引入反码：
    
  • 还是看个例子，套用公式：
    
• 总结一下，直接上结论：
  • 正数三同（原补反相同）
  • 负数：
    • 原码—>补码：符号位不变，取反+1
    • 原码—>反码：符号位不变，取反
    • 反码—>补码：+1
• 以上皆是整数，对于小数，我们主要看补码表示法
  • 小数反码定义：
    
  • 看个例子：
    

二进制运算

• 定点数、浮点数和运算
• 首先，不要混乱；
  • 前面是整数和小数的表示问题
  • 这的定点数和浮点数都包括了整数和小数，都是针对运算提出的概念；但二者适用场景不同
• 这里解决前面的问题，为什么补码能够简化运算，也要考虑计算机如何存储并计算

表示

• 定点数的表示：
  • 小数点固定在某个位置的数
    
  • 看个例子：
    
  • 如果不是纯的呢？需要乘上比例因子满足格式：
• 浮点数的表示
  • 有的数据范围很大，定点数难以表达
  • 借助于科学计数法理解浮点数的表示格式：
    
    • 这里的 r 一般取2
    • 尾数必须是纯小数
  • 看个例子：
    
    • 注：阶码数值是二进制表示
  • 浮点数的表示范围：
    
    
  • 根据上面的范围，得到上溢和下溢区间：
    
    • 单精度浮点数：4字节表示，即总共有32比特位存储这些阶码、尾数、符号
    • 双精度浮点数：8字节表示（double）
    • 后面会介绍溢出处理（要考）
• 规格化
  • 先来看科学计数法的要求：
    
  • 类比之，浮点数要求尾数最高位必须为1，且纯小数，观察下面的例子：
    
  • 规格化时，根据浮点数的组成对号入座，无需将符号位加入尾数和阶码，数值不够补0
    
  • 浮点数必须要规格化后才能参与运算，一般流程：十进制数—>原码—>规格化
  • 后面会发现，尾数用补码运算
• 对比
  • 浮点数在范围、精度、溢出处理、编程等方面优于定点数
  • 定点数在运算规则、成本、速度等方面优于浮点数

运算

• 定点数加法
  • 规则如下：
    
  • 数值位和符号位一起计算，并将产生的进位丢掉
  • 看两个例子：
    
    
  • 关键：符号位参与运算
  • 用双符号位法判断溢出：进位同样丢弃，符号相异表示溢出
    
• 定点数减法
  • 减法变加法：
    
  • 看个例子：
    
  • 补码的相反数：连同符号位，取反+1
• 浮点数加减法
  • 和浮点数的表示类似，有具体的步骤规则：
    
  • 对阶：阶码按小阶看齐大阶的原则：
    
    • 舍弃最后两位，这个舍的问题后面会细说
    • 尾数用补码运算，原码表示；当然，补码表示也可！
  • 尾数求和：
    
  • 尾数规格化：
    • 左规：不满足下面的格式时
      
    • 左规可能进行多次（多次移位）
    • 上面的例子不满足格式，左规如下：
      
    • 右规：双符号位不一致时，进行右移操作（只一次），需要考虑舍入问题：
      
    • 小结：左移补0，右移补1/0（和剩下的符号位一致），阶码改变
  • 溢出判断：和定点数不同，浮点数双符号位不同不一定溢出，经过上面的尾数规格化之后根据阶码双符号位判断
    • 阶码符号位一致则未溢出
• 浮点数运算小结：
  • 以上步骤都是程序化，总结如下：
    
• 浮点数乘除法：（了解即可，考的很少）
  • 乘法规则：阶码相加，尾数相乘
  • 除法规则：阶码相减，尾数相除
  • 同样可分为：阶码运算、尾数运算、尾数规格化、舍入和溢出判断

小结

• 本篇主要介绍了二进制的表示和运算，规则还是要记的
• 第一次接触很容易混乱，但把握住一点：任何表示方法主要是为了机器运算的方便，从这一点出发可能会更容易理解这些规则
• 对比存储器的结构便可知其中的原理，最后再解释一下补码的道理：
  • 以-11为例，先不考虑符号，二进制表示为1011，逐位求反得0100
  • 1011+0100=1111，而1111+1=10000（4位二进制数的模）
  • 相当于4位寄存器，最大能表示的数是15，此时+1就要全部清零进位
  • 结论：不管几位二进制数，取反后与原码相加再+1都会得到模
  • OK，补码代替原码计算，减法变加法，会溢出，模掉溢出部分就可以得到最终计算值，这就是底层原理
  • 可以将它理解成一个时钟，用模运算来轮回转化
  • 再来考虑符号位，结论是：符号位是计算过程中得到的规律（0表正，1表负），可以当成是数学之美吧！
• 下一篇开始实现之前提到的重要算法