应用例子1：一个样本平均数与一个已知的总体平均数的差异

双尾检测

【例1】某厂加工一零件，根据经验得知零件的椭圆度近似服从正态分布，总体均值u0=0.081mm，总体标准差σ=0.025。现在换新机床加工，抽取n=200个零件检验，得到椭圆度为0.076mm。在显著性水平取0.05时，问新机床加工零件的椭圆度均值与以前有无显著差距？

1. 提出假设，规定适当检验统计量，确定检验水平：
   $H0：\mu =\mu 0=0.081，H1：\mu \ne \mu 0，\alpha =0.05$
   方差已知，故选择z检验统计量

2. 计算统计量z值：
   .将已知数据带入z检验公式
   $|z|=|\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{\frac{S}{\sqrt{n}}}|=|\frac{0.076-0.081}{0.025/\sqrt{200}}|=|-2.83|=2.83$

3. 确定p值，做出推断结论
   $|z|=2.83>z_{0.05}(+\infty )=1.96(临界值)$，$p<0.05$.
   拒绝H0，接受H1，可以认为新机床加工的零件与先前有显著差异。

【DA】z检验p值的计算

单尾检测

右侧检验：

【例2】根据过去大量资料，某厂灯泡的寿命服从正态分布$N（1020,100^2）$。现在从最近生产的一批产品中，随机抽取16只灯泡，检测得到样本的平均寿命是1080h。在显著性水平取0.05时，判断这批产品的使用寿命有没有显著提高。

1. 提出假设，规定适当检验统计量，确定检验水平：
   当前我们希望验证新产品的使用寿命提高了，以此作为备择假设H1.
   $H0：\mu <=u0=1020，H1：\mu >\mu 0=1020，\alpha =0.05$
   方差已知，故选择z检验统计量

2. 计算统计量z值：
   .将已知数据带入z检验公式
   $z=\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{\frac{S}{\sqrt{n}}}=\frac{1080-1020}{100/\sqrt{16}}=2.4$

3. 确定p值，做出推断结论
   $z=2.4>z_{0.05}(+\infty )=1.645(临界值)$，$p<0.05$.
   拒绝H0，接受H1，可以认为这批灯泡平均寿命有显著提高。

左侧检验：

【例2】数据同上。在显著性水平取0.05时，判断这批产品的使用寿命有没有降低。

1. 提出假设，规定适当检验统计量，确定检验水平：
   当前我们希望验证新产品的使用寿命降低，以此作为备择假设H1.
   $H0：\mu >=u0=1020，H1：\mu <\mu 0=1020，\alpha =0.05$
   方差已知，故选择z检验统计量

2. 计算统计量z值：
   .将已知数据带入z检验公式
   $z=\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{\frac{S}{\sqrt{n}}}=\frac{1080-1020}{100/\sqrt{16}}=2.4$

3. 确定p值，做出推断结论
   $z=2.4>-z_{0.05}(+\infty )=-1.645(临界值)$，$p>0.05$.
   接受H0，拒绝H1，可以认为这批灯泡平均寿命有显著提高。

应用例子2：两组样本平均数的差异性

双尾检测

【例3】研究正常人与高血压患者胆固醇含量，比较两组血清胆固醇含量有无显著差异。
正常人组数据:n1=506(样本量) ，μ1=180.6(样本均值)，s1=34.2(标准差)
高血压组数据:n2=142(样本量)， μ2=223.6(样本均值)，s2=45.8(标准差)

1. 提出假设，规定适当检验统计量，确定检验水平：
   $H0：\mu 1=\mu 2，H1：\mu 1\ne \mu 2，\alpha =0.05$
   总体方差未知，样本量较大，且检验来自两组样本平均数的差异性，故选择z检验统计量
2. 计算统计量z值：
   $|z|=|\frac{\overline{x_1}-\overline{x_2}}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}}}|=\frac{|180.6-223.6|}{\sqrt{34.2^2/506+45.8^2/142}}=10.40$
3. 确定p值，做出推断结论
   $|z|=10.40>z_{0.05}(+\infty )=1.96(临界值)$，$p<0.05$.
   拒绝H0，接受H1，可以认为正常人和高血压患者的血清胆固醇含量有差异。

单尾检测

右侧检验：

【例4】某厂生产固体燃料推进器，服从正态分布$N(40,2^2)$。现在用新方法生产一批推进器，随机抽取n=25只，测得样本均值$\bar{x}=41.25cm/s$。假设在新方法下的总体方差仍是2cm/s。问这批推进器的燃烧率对比过去是否有显著提高？取显著性水平$\alpha =0.05$。

1. 提出假设，规定适当检验统计量，确定检验水平：
   当前我们希望验证新产品的燃烧率提高了，以此作为备择假设H1.
   $H0：\mu <=u0=40，H1：\mu >\mu 0=40，\alpha =0.05$
   方差已知，故选择z检验统计量

2. 计算统计量z值：
   .将已知数据带入z检验公式
   $z=\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{\frac{S}{\sqrt{n}}}=\frac{41.25-40}{2/\sqrt{25}}=3.125$

3. 确定p值，做出推断结论
   $z=3.125>z_{0.05}(+\infty )=1.645(临界值)$，$p<0.05$.
   拒绝H0，接受H1，可以认为这批推进器燃烧率有显著提高。

左侧检验：

【例4】数据同上。问这批推进器的燃烧率对比过去是否有降低？取显著性水平$\alpha =0.05$。

1. 提出假设，规定适当检验统计量，确定检验水平：
   当前我们希望验证新产品的燃烧率降低，以此作为备择假设H1.
   $H0：\mu >=u0=40，H1：\mu <\mu 0=40，\alpha =0.05$
   方差已知，故选择z检验统计量

2. 计算统计量z值：
   .将已知数据带入z检验公式
   $z=\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{\frac{S}{\sqrt{n}}}=\frac{1080-1020}{100/\sqrt{16}}=2.4$

3. 确定p值，做出推断结论
   $z=2.4>-z_{0.05}(+\infty )=-1.645(临界值)$，$p>0.05$.
   接受H0，拒绝H1，可以认为这批推进器燃烧率有显著提高。

应用例子3：单一总体比率与某一比率的差异性

双尾检测

【例5】一种杂志的80%读者为女性。为验证这一点，某研究部门抽去了由n=200人组成的一个随机样本，发现有146个女性经常阅读该杂志。取显著性水平$\alpha =0.05$。检验该在职读者群女性比例是否为80%？

1. 提出假设，规定适当检验统计量，确定检验水平：
   $H0：P={\pi }_0=0.8，H1：P\ne {\pi }_0=0.8，\alpha =0.05$

2. 计算统计量z值：
   将已知数据带入z检验公式
   $P=146/200=0.73$
   $Z=\frac{P-{\pi }_0}{\sqrt{\frac{{\pi }_0(1-{\pi }_0)}{n}}}=\frac{0.73-0.8}{\sqrt{\frac{0.8\ast (1-0.8)}{200}}}=-2.475$

3. 确定p值，做出推断结论
   $|z|=2.475>z_{0.05/2}(+\infty )=1.96(临界值)$，$p<0.05$.
   拒绝H0，接受H1，可以认为这群读者中的女性比例不是80%。

单尾检测

右侧检验：

【例5】数据同上。检验该在职读者群女性比例是否多于80%？

1. 提出假设，规定适当检验统计量，确定检验水平：
   $H0：P<={\pi }_0=0.8，H1：P>{\pi }_0=0.8，\alpha =0.05$

2. 计算统计量z值：
   将已知数据带入z检验公式
   $P=146/200=0.73$
   $Z=\frac{P-{\pi }_0}{\sqrt{\frac{{\pi }_0(1-{\pi }_0)}{n}}}=\frac{0.73-0.8}{\sqrt{\frac{0.8\ast (1-0.8)}{200}}}=-2.475$

3. 确定p值，做出推断结论
   $z=-2.475<z_{0.05}(+\infty )=1.645(临界值)$，$p>0.05$.
   接受H0，拒绝H1，可以认为这群读者中的女性比例低于80%。

左侧检验：

【例5】数据同上。检验该在职读者群女性比例是否少于80%？

1. 提出假设，规定适当检验统计量，确定检验水平：
   $H0：P>={\pi }_0=0.8，H1：P<{\pi }_0=0.8，\alpha =0.05$

2. 计算统计量z值：
   将已知数据带入z检验公式
   $P=146/200=0.73$
   $Z=\frac{P-{\pi }_0}{\sqrt{\frac{{\pi }_0(1-{\pi }_0)}{n}}}=\frac{0.73-0.8}{\sqrt{\frac{0.8\ast (1-0.8)}{200}}}=-2.475$

3. 确定p值，做出推断结论
   $z=-2.475<-z_{0.05}(+\infty )=-1.645(临界值)$，$p<0.05$.
   拒绝H0，接受H1，可以认为这群读者中的女性比例低于80%。

应用例子4：两个总体比率的差异性

双尾检测

【例6】现研究地势对小麦锈病发病率的影响。调查低洼地麦田n1=378株，其中锈病株342株；高洼地麦田n2=396株，其中锈病株313株。取显著性水平$\alpha =0.05$。比较两块麦田锈病发病率有无显著差异。

1. 提出假设，规定适当检验统计量，确定检验水平：
   $H0：P_1-P_2=0，H1：P_1-P_2\ne 0，\alpha =0.05$

2. 计算统计量z值：
   将已知数据带入z检验公式
   $P_1=342/378=0.905,P_2=313/396=0.790$
   $Z=\frac{(P_1-P_2)-({\pi }_1-{\pi }_2)}{\sqrt{\frac{P_1(1-P_1)}{n_1}+\frac{P_2(1-P_2)}{n_2}}}=\frac{(0.905-0.790)-0}{\sqrt{\frac{0.905\ast (1-0.905)}{378}+\frac{0.790\ast (1-0.790)}{396}}}=4.423$

3. 确定p值，做出推断结论
   $Z=4.423>z_{0.05/2}(+\infty )=1.96(临界值)$，$p<0.05$.
   拒绝H0，接受H1，可以认为低洼地的发病率和高洼地不同。

单尾检测

右侧检验：

【例6】数据同上。验证低洼地的发病率是否高于高洼地。

1. 提出假设，规定适当检验统计量，确定检验水平：
   $H0：P_1-P_2<=0，H1：P_1-P_2>0，\alpha =0.05$

2. 计算统计量z值：
   将已知数据带入z检验公式
   $P_1=342/378=0.905,P_2=313/396=0.790$
   $Z=\frac{(P_1-P_2)-({\pi }_1-{\pi }_2)}{\sqrt{\frac{P_1(1-P_1)}{n_1}+\frac{P_2(1-P_2)}{n_2}}}=\frac{(0.905-0.790)-0}{\sqrt{\frac{0.905\ast (1-0.905)}{378}+\frac{0.790\ast (1-0.790)}{396}}}=4.423$

3. 确定p值，做出推断结论
   $Z=4.423>z_{0.05}(+\infty )=1.645(临界值)$，$p<0.05$.
   拒绝H0，接受H1，可以认为低洼地的发病率显著高于高洼地。

左侧检验：

【例6】数据同上。验证低洼地的发病率是否低于高洼地。

1. 提出假设，规定适当检验统计量，确定检验水平：
   $H0：P_1-P_2>=0，H1：P_1-P_2<0，\alpha =0.05$

2. 计算统计量z值：
   将已知数据带入z检验公式
   $P_1=342/378=0.905,P_2=313/396=0.790$
   $Z=\frac{(P_1-P_2)-({\pi }_1-{\pi }_2)}{\sqrt{\frac{P_1(1-P_1)}{n_1}+\frac{P_2(1-P_2)}{n_2}}}=\frac{(0.905-0.790)-0}{\sqrt{\frac{0.905\ast (1-0.905)}{378}+\frac{0.790\ast (1-0.790)}{396}}}=4.423$

3. 确定p值，做出推断结论
   $Z=4.423>z_{0.05}(+\infty )=-1.645(临界值)$，$p<0.05$.
   接受H0，拒绝H1，可以认为低洼地的发病率显著高于高洼地。