题目描述
给定一个整数 n,求以 1 … n 为节点组成的二叉搜索树有多少种?
示例:
输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:
1 3 3 2 1
\ / / / \
3 2 1 1 3 2
/ / \
2 1 2 3
来源:力扣(LeetCode)
链接:https://leetcode-cn.com/problems/unique-binary-search-trees
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二、题解
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base case:树的左、右孩子可以为 1 或者 为 0,因此dp[0] = 1,dp[1] = 1。
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重叠子问题:我们可以遍历每个数字 i,将该数字作为树根,将
1⋯(i−1)
序列作为左子树,将(i+1)⋯n
序列作为右子树。接着我们可以按照同样的方式递归构建左子树和右子树。
在上述构建的过程中,由于根的值不同,因此我们能保证每棵二叉搜索树是唯一的。
由此可见,原问题可以分解成规模较小的两个子问题,且子问题的解可以复用 -
状态转移方程:f(i,n)表示以 i 为 根,序列长度为n 的 全部二叉搜索树,显然要求的 dp(n) ---->遍历
1-n
作为树根的 f(i,n)求和
而且 某个i为根的树,f(i,n) = dp(i-1)* dp (n-i) ,也就是对应的左、右子树 二叉搜索树的笛卡尔积
class Solution {
public int numTrees(int n) {
int[] dp = new int[n+1];
// base case
dp[0] = 1;
dp[1] = 1;
// 动态规划之迭代解法
// 重叠子问题
for(int i = 2;i<=n;i++){
// 迭代循环作为根,左、右 为两个子问题
for(int j = 1;j<=i;j++){
// dp[] 为子问题解答
dp[i] += dp[j-1] * dp[i-j];
}
}
return dp[n];
}
}