概念
强连通分量有向图强连通分量 :在有向图G中,如果两个顶点vi,vj间(vi>vj)有一条从vi到vj的有向路径,同时还有一条从vj到vi的有向路径,则称两个顶点强连通 (strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通,称G是一个强连通图 。有向图的极大强连通子图 ,称为强连通分量。
摘自百度百科
我的理解就是在图的尽量大部分中,这部分中,从每个点出发,都可以回到该点,那么就是一个强连通分量。那么我们该如何找呢?
原理
找强连通的方法有两种算法Kosaraju算法和tarjan算法。
Kosaraju算法是对该图和它的逆图两次DFS的方法,时间复杂度O(N+M),比tarjan算法更加直观。
tarjan算法只用一次DFS,时间复杂度同样O(N+M),只需一次DFS不用建逆图,更加简洁,而且与无向图中点双连通分量等的tarjan算法有极大的联系,下次将会介绍 ,这里我们主要介绍tarjan算法。
我们要引入一些概念:
1.时间戳dfn:DFS时搜索的次序。
2.追溯值low:追溯到的最早的栈中节点次序号。
3.树枝边:搜索树的边。
4.前向边:在搜索树中,某个点是该点的祖先(先被搜到)但现在该点却指向这个它的祖先。
5.后向边:和前向边相反。
6.横向边:横跨两个搜索子树。
是不是很迷茫
这里我们借鉴一下马南邨的《不求甚解》中的思想,我们先不必对于这个了解透彻,当我们的知识积累到一定程度时,回过了看看这些内容,其实就更上一层楼了。
言归正转,我们来看看如何实现的:
首先每搜到一个点更新dfn值为++cnt,并把它压入栈中,
当从x点DFS时搜到没有更新dfn值的y点,那么就从这个点继续搜索,回溯时更新low值 l o w [ x ] = m i n ( l o w [ x ] , l o w [ y ] ) low[x]=min(low[x],low[y]) low[x]=min(low[x],low[y])
当搜到了y点,且发现y已经更新dfn值,且不在栈中,那么更新low值
l o w [ x ] = m i n ( l o w [ x ] , d f n [ y ] ) low[x]=min(low[x],dfn[y]) low[x]=min(low[x],dfn[y])
当回溯回来发现
l o w [ x ] = d f n [ x ] low[x]=dfn[x] low[x]=dfn[x]
那么就取出栈中的点,直到该点被取出,其中所有的点就组成了一个强连通分量。
代码实现:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1005;
int n,m,sum,cnt=0;
int id[N],dfn[N],low[N];
bool vis[N];
stack<int>a;
int first[N],nex[N],to[N],tot;
void add(int x,int y)
{
nex[++tot]=first[x];
first[x]=tot;
to[tot]=y;
}
void dfs(int x)
{
cnt++;
low[x]=cnt;dfn[x]=cnt;
a.push(x);
vis[x]=1;
for(int i=first[x];i;i=nex[i])
{
int y=to[i];
if(dfn[y]==0)
{
dfs(y);
low[x]=min(low[x],low[y]);
}
else
{
if(vis[y]==1) low[x]=min(low[x],dfn[y]);
}
}
if(low[x]==dfn[x])
{
sum++;
do
{
t=a.top();
id[t]=sum;//强连通分量的编号
vis[t]=0;
a.pop();
}while(t!=x);
}
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
add(x,y);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(dfn[i]==0) dfs(i);//如果搜完了该点没有更新即没有搜到,那么就从该点搜
}
cout<<sum<<endl;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cout<<i<<"属于第"<<id[i]<<"个强连通分量"<<endl;
}
return 0;
}
送一道板子传送门luoguP2341
那么找强连通分量后有什么用处呢?
给出模板缩点luoguP3387。
缩点
顾名思义,我们可以把强连通分量缩为一个点,即把若干环缩为点,本题中要求我们要找点权和最大,那么遇到环,肯定是要全部都走一遍,那么我们就可以把这个环缩为一个点,点权值就是这个环中的点权值的总和,然后跑一遍DFS就可以了。
其中id表示的便是每个强连通分量,将其看做点来DFS。
代码实现:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e4+5,M=1e5+5;
int dfn[N],low[N],cnt,sum,id[N],w[N],w1[N],dp[N],n,m;
bool vis[N];
stack<int>a;
int first[N],nex[M],to[M],u[M],v[M],tot;
void add(int x,int y)
{
nex[++tot]=first[x];
first[x]=tot;
to[tot]=y;
}
void dfs(int x)
{
dfn[x]=low[x]=++cnt;
a.push(x);
vis[x]=1;
for(int i=first[x];i;i=nex[i])
{
int y=to[i];
if(dfn[y]==0)
{
dfs(y);
low[x]=min(low[x],low[y]);
}
else
if(vis[y])
{
low[x]=min(low[x],dfn[y]);
}
}
if(dfn[x]==low[x])
{
sum++;
int t;
do
{
t=a.top();
vis[t]=0;
id[t]=sum;
w1[id[t]]+=w[t];
a.pop();
}while(t!=x);
}
}
void dfs1(int x)
{
if(dp[x]!=0) return;
dp[x]=w1[x];
int Max=0;
for(int i=first[x];i;i=nex[i])
{
int y=to[i];
if(dp[y]==0) dfs1(y);
Max=max(Max,dp[y]);
}
dp[x]+=Max;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&w[i]);
}
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
u[i]=x;
v[i]=y;
add(x,y);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(dfn[i]==0) dfs(i);
}
memset(first,0,sizeof(first));
memset(nex,0,sizeof(nex));
memset(to,0,sizeof(to));
tot=0;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
if(id[u[i]]!=id[v[i]])
{
add(id[u[i]],id[v[i]]);
}
}
int ans=0;
for(int i=1;i<=sum;i++)
{
if(dp[i]==0)
{
dfs1(i);
ans=max(ans,dp[i]);
}
}
cout<<ans;
return 0;
}