LeetCode 343、整数拆分
题目
题解
解法1
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确定dp数组以及下标的含义
dp[i]:拆分 i ,可以得到的最大乘积为dp[i]
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确定递推公式
可以从1开始遍历j,有两种渠道获得dp[i]:一种直接
j * (i - j)
;另一种是j * dp[i - j]
,相当于拆分了dp[i - j](j在从1开始的过程中其实已经拆分了)。可以得到递推公式:
dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j]));
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dp的初始值
在这里没必要讨论dp[0]、dp[1]的初始值,这是没有意义的,我们肯定的是dp[2] = 1,这就够了,足以解决这道题目
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确定遍历顺序
i 从 3 开始,j 从 1 开始,这样dp[i - j] 最小下标正好是 2
for (int i = 3; i <= n ; i++) { for (int j = 1; j < i - 1; j++) { dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j)); } }
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举例推导dp数组
class Solution {
public:
int integerBreak(int n) {
vector<int> dp(n + 1, 0);
dp[2] = 1;
for (int i = 3; i <= n; ++i) {
// i从3开始,正好i - j的最小下标为2
for (int j = 1; j < i - 1; ++j) {
// dp[i - j] 中 i - j > 1 ==> j < i - 1;
dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j])); // 在i为某一值时,可能在某个j时就已经取得了最大的dp[i],但j还会不断递增,因此要包含dp[i]
}
}
return dp[n];
}
};
- 时间复杂度:O(n^2)
- 空间复杂度:O(n)
解法2
本题也可以使用贪心算法来解决,每次拆分为 n 个3,如果剩下的是4,保留4,然后相乘。(需要数学证明)
class Solution {
public:
int integerBreak(int n) {
if (n == 2) return 1;
if (n == 3) return 2;
if (n == 4) return 4;
int result = 1;
while (n > 4) {
result *= 3;
n -= 3;
}
result *= n;
return result;
}
};