1. 什么是支持向量机？

支持向量机（support vector machine）是一种二分类模型。它的基本模型是定义在特征空间上间隔最大的线性分类器，间隔最大使它有别于感知机；支持向量机还包括核技巧，这使它成为实质上的非线性分类器。支持向量机的学习策略就是间隔最大化，可形式化为一个求解凸二次规划的问题，也等价于正则化的合页损失函数的最小化问题。支持向量机的学习算法是求解凸二次规划的最优化算法。

支持向量机学习方法按照从简单到复杂可分为：线性可分支持向量机（linear support vector machine in linearly separable case)、线性支持向量机（linear support vector machine）以及非线性支持向量机（non-linear support vector machine）。这三种模型的复杂度有浅到深，其中线性可分支持向量机又称为硬间隔支持向量机（hard margin maximization），针对的线性可分训练数据；当训练数据接近线性可分时，通过软间隔最大化（soft margin maximization），也学习一个线性的分类器，即线性支持向量机，又称为软间隔支持向量机；当训练数据线性不可分时，通过使用核技巧(kernel trick) 及软间隔最大化，学习非线性支持向量机。

当输入空间为欧式空间或离散集合、特征空间为希尔伯特空间时，核函数(kenel function)表示将输入从输入空间映射到特征空间得到特征向量之间的內积。通过使用核函数可以学习非线性支持向量机，等价于隐式地在高维的特征空间中学习线性支持向量机。这样的方法称为核技巧。核方法（kenel method）是比支持向量机更为一般的机器学习方法。

参考：统计学习-李航
凸二次规划

2. 支持向量机的数学原理

2.1 支持向量机的代价函数

了解支持向量机的数学原理，我们要先回顾下逻辑斯蒂回归的内容:

逻辑斯蒂回归模型的假设函数为：

$$h_{\theta }(x)=\frac{1}{{\exp }^{-{\theta }^{T}x}}\text{\hspace{1em}(1)}$$

图像曲线为：

$$图1$$

逻辑斯蒂回归的代价函数公式（单个样例）：

$$J=-ylog{h}_{\theta }(x)+(1-y)log(1-h_{\theta }(x)\text{\hspace{1em}(2)}$$

将假设函数带入2后
$$J=-ylog\frac{1}{1+{\exp }^{-{\theta }^{T}x}}-(1-y)log(1-\frac{1}{1+{\exp }^{-{\theta }^{T}x}})\text{\hspace{1em}(3)}$$

当y=1 时，代价函数如下图中蓝色曲线所示：

$$图2$$

当y=0时，代价函数曲线如下图蓝色曲线所示：

$$图3$$

图2 图3的函数曲线我们分别用紫色的函数曲线作近似代替，并且图2中曲线我们命名为$cos{t}_1({\theta }^{T}x)$，图3中的曲线我们命名为$cos{t}_0({\theta }^{T}x)$。因此支持向量机的代价函数我们可以这样表示：
$$\underset{\theta }{\min }C\sum _{i=1}^m[y^{(i)}cos{t}_1({\theta }^T{x}^{(i)}+(1-y^i)cos{t}_0({\theta }^T{x}^{(i)})]+\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n{\theta }_j^2\text{\hspace{1em}(4)}$$

因为支持向量机的代价函数最小值跟系数没有关系，所以我们可以去掉m和lambda，另$C=\frac{1}{\lambda }$

支持向量机的假设函数如下图所示，当${\theta }^{T}x\ge 0$，$h_{\theta }(x)=1$，其它情况下为0

2.2 如何理解支持向量机代价函数的最小化

在2.1中我们掌握了支持向量机代价函数的表达式后，这一节我们主要要掌握代价函数最小化的推理过程，从上节公式4中我们随着我们训练的进行，A部分是要趋近于0的，B中的部分主要是参数$\theta$,所以支持向量机代价函数最小化的过程，也可以看成是最小化B的过程，但B受限于A，因此：
$$\underset{\theta }{\min }\frac{1}{2}\sum _{j=1}^n{\theta }_j^2\text{\hspace{1em}(5)}$$
$$s.t.{\theta }^T{x}^{(i)}\ge 1if{y}^{(i)}=1$$
$${\theta }^T{x}^{(i)}\le -1if{y}^{(i)}=\mathrm{０}$$

而${\theta }^T{x}^{(i)}$其实是向量的內积$p^{(i)}\cdot ||\theta ||$,$p^{(i)}是向量x^{(i)}在\theta 上的投影$，而公式5就可以看作向量的模$\frac{1}{2}||\theta ||$，所以SVM的代价函数最小化的过程也可以表示为：
$$\underset{\theta }{\min }\frac{1}{2}||\theta ||\text{\hspace{1em}(6)}$$
$$s.t.\{\begin{array}{r}{p}^{(i)}\cdot ||\theta ||\ge 1,y^{(i)}=1\\ p^{(i)}\cdot ||\theta ||\le -1,y^{(i)}=\mathrm{０}\end{array}$$

2.3 核函数（kernels）

前面两节主要针对线性可分数据，如果是线性不可分数据，我们就要用到核函数技巧。

大致的技巧就是我们用$特征[f_1,f_2,f_3,f_4,f_5]取代特征[x_1,x_2,x_1{x}_2,x_1^2,x_2^2]$。这样就相当于将高幂特征转换为低幂特征。下面就是要了解如何求解$特征[f_1,f_2,f_3,f_4,f_5]$。

对于给定样本(x,y)的空间上我们手动设置标记点$l_1,l_2,l_3.....$,记为landmark向量，通过计算原始向量与landmark向量之间的相似度来表示特征$f_1,f_2,f_3....$,如下图所示

因此，我们能够发现：
当$x\approx l^{(1)}时，f_1\approx 1$
当$x距离l^{(1)}很远时，f_1\approx 0$，

假设当${\theta }_0+{\theta }_1{f}_1+{\theta }_2{f}_2+{\theta }_3{f}_3\ge 0$时，我们预测样本为“1”（根据前面的假设函数定义得出），假设${\theta }_0=-0.5，{\theta }_1=1，{\theta }_2=1，{\theta }_3=0$。那么对于下图中给定的样本x,我们可以计算出$f_1\approx 1,f_2\approx 0,f_3\approx 0$,带入上式可得知${\theta }_0+{\theta }_1\cdot 1+{\theta }_2\cdot 0+{\theta }_3\cdot 0=0.5>0;$,所以预测样本X的类别为“1”。而对于大量的样本，就能得到一个非线性的决策边界，如下图中所示：

最后，如何设置$l^{(1)},l^{(2)},l^{(3)}\dots$了？其实很简单，在刚开始训练时，我们只需把训练集中的样本一一对应成$l^{(1)},l^{(2)},l^{(3)}\dots$即可，即给定 { ( x ( 1 ) , y ( 1 ) ) , ( x ( 2 ) , y ( 2 ) ) , . . . . . , ( x ( m ) , y ( m ) ) } \{(x^{(1)}, y^{(1)}), (x^{(2)}, y^{(2)}),....., (x^{(m)}, y^{(m)})\} { (x(1),y(1)),(x(2),y(2)),.....,(x(m),y(m))},令$l^{(1)}=x^{(1)},l^{(2)}=x^{(2)},l^{(3)}=x^{(3)}\dots l^{(m)}=x^{(m)}$如下图所示：

所以，对于样本x,我们可以得到如下特征$f=[f_1,f_2,....f_m{]}^T$:
$$\begin{array}{r}{f}_1=similarity(x,l^{(1)})\\ f_2=similarity(x,l^{(2)})\\ f_3=similarity(x,l^{(3)})\\ \dots \end{array}$$
其中，$similarity(x,l^{(i)})=exp(-\frac{|||x-l^{(i)}|{|}^2}{2{\delta }^2})$，而带核函数的SVM代价函数就变为：
$$\underset{\theta }{\min }C\sum _{i=1}^m[y^{(i)}cos{t}_1({\theta }^T{f}^{(i)}+(1-y^i)cos{t}_0({\theta }^T{f}^{(i)})]+\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n{\theta }_j^2$$

3. 支持向量机的使用建议

SVM算法模型面世已经几十年，相关算法软件包已经非常成熟，我们没必要自己从头开始做一个实现代码，只需要针对特定的场景选择合适的算法模型，设置合理的参数即可

SVM模型中参数$C,{\delta }^2$对模型的影响总结如下：

对于逻辑回归和SVM，吴恩达老师就总结出了几个非常好的规则供我们参考：