研究过离散傅里叶变换的,都会觉得离散余弦变换的会更简单,不过不知道为什么网上却没有像离散傅里叶变换那样多的介绍,还得下次找本书好好钻研,后再补充。
二维离散余弦变换的正变换公式为:
在图像的压缩编码中,N一般取8.
二维DCT的反变换公式为:
以上各式中的系数:
基于DCT的JPEG图像压缩编码理论算法 基于DCT编码的JPEG编码压缩过程框图,如图1所示。
图1 基于DCT编码的JPEG压缩过程简化图
上图是基于DCT变换的图像压缩编码的压缩过程,解压缩与上图的过程相反。
在编码过程中,首先将输入图像颜色空间转换后分解为8×8大小的数据块,然后用正向二维DCT把每个块转变成64个DCT系数值,其中1个数值是直流(DC)系数,即8×8空域图像子块的平均值,其余的63个是交流(AC)系数,接下来对DCT系数进行量化,最后将变换得到的量化的DCT系数进行编码和传送,这样就完成了图像的压缩过程。
从原理上讲可以对整幅图像进行DCT变换,但由于图像各部位上细节的丰富程度不同,这种整体处理的方式效果不好。为此,发送者首先将输入图像分解为8*8或16*16块,然后再对每个图像块进行二维DCT变换,接着再对DCT系数进行量化、编码和传输;接收者通过对量化的DCT系数进行解码,并对每个图像块进行的二维DCT反变换。最后将操作完成后所有的块拼接起来构成一幅单一的图像。
所以DCT是对二维像素数组进行处理,下面附上程序:
* in_image 输入图像矩阵 * iw, ih 输入图像宽高 * bsize bsizeXbsize图像块DCT变换 * type type = 1为正DCT变换, type =-1为逆变换 *------------------------------------------------------------*/ public double[][] dctTrans(double[][] img, int iw, int ih, int bsize, int type) { int iter_num = 256 / bsize; dct_image = new double[iw][ih]; dct_coef = new double[bsize][bsize]; dct_coeft = new double[bsize][bsize]; image = new double[bsize][bsize]; coeff(dct_coef, bsize); //定义转置矩阵系数 for (int i = 0; i < bsize; i++) for (int j = 0; j < bsize; j++) dct_coeft[i][j] = dct_coef[j][i]; if (type == 1) { for (int j = 0; j < iter_num; j++) { for (int i = 0; i < iter_num; i++) { //取bsizeXbsize图像块image[][] for (int k = 0; k < bsize; k++) for (int l = 0; l < bsize; l++) image[k][l] = img[i * bsize + k][j * bsize + l]; //bsizeXbsize块DCT变换 dct(image, dct_coeft, dct_coef, bsize);//正变换 //Output dct image for (int k = 0; k < bsize; k++) for (int l = 0; l < bsize; l++) dct_image[i * bsize + k][j * bsize + l] = image[k][l]; } } } else { for (int j = 0; j < iter_num; j++) { for (int i = 0; i < iter_num; i++) { //取bsizeXbsize图像块image[,] for (int k = 0; k < bsize; k++) for (int l = 0; l < bsize; l++) image[k][l] = img[i * bsize + k][j * bsize + l]; //bsizeXbsize块IDCT变换 dct(image, dct_coef, dct_coeft, bsize);//逆变换 //Output dct image for (int k = 0; k < bsize; k++) for (int l = 0; l < bsize; l++) dct_image[i * bsize + k][j * bsize + l] = image[k][l]; } } } return dct_image; } public void coeff(double[][] dct_coef, int n) { double sqrt_1 = 1.0 / Math.sqrt(2.0); for (int i = 0; i < n; i++) dct_coef[0][i] = sqrt_1; //初始化DCT系数 for (int i = 1; i < n; i++) for (int j = 0; j < n; j++) dct_coef[i][j] = Math.cos(i * Math.PI * (j + 0.5) / ((double)n)); } public void dct(double[][] a, double[][] b, double[][] c, int n) { double x; double[][] af = new double[n][n]; for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { x = 0.0; for (int k = 0; k < n; k++) x += a[i][k] * b[k][j]; af[i][j] = x; } } for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { x = 0.0; for (int k = 0; k < n; k++) x += c[i][k] * af[k][j]; a[i][j] = 2.0 * x / ((double)n); } } }
实验效果如下: