题目：
输入一个整数 n ，求1～n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。
例如，输入12，1～12这些整数中包含1 的数字有1、10、11和12，1一共出现了5次。

方法一：
看完题目以后我们能想到的最直观的解法就是累加1~n中每个整数1出现的次数，通过每一个数的对10求余数，来判断他个位是否为1，如果大于10则除以10后再判断。代码很简单，如下。

int Number_Of_Between_1_And_N(int n)
{
    
    
	int number = 0;
	for(int i = 1;i <= n;i++)
		number = number + Number_Of_1(i);
	return number;
}

int Number_Of_1(int n){
    
    
	int number = 0;
	while(n)
	{
    
    
		if(n%10 == 1)
			number++;
		n = n/10;
	}
	return number;
}

方法二：
在上述方法中，当我们输入的n非常大的时候，需要大量的计算，运算效率不高，接下里让我们看一看能否在数字上找到1存在的规律，为了方便，我们不妨取一个较大的数字如21345。

我们把1 ~ 21345的所有数字分成两段，一段是1 ~ 1345；另一段是1346 ~ 21345 。

我们先看1346 ~ 21345中1出现的次数，1出现分两种情况，首先分析1出现在最高位的情况（本例中是万位），在1346~21345的数字中，1出现在万位是在10000 ~ 19999这一万个数中，一共出现了10000(10的4次方)次。值得注意的是，并不是对所有的5位数而言在万位出现的次数都是10000次，对于万位是1的数字来说，1只出现在10000 ~ 12345 的万位，出现的次数不是10的四次方次，而是除去最高位加1次，也就是2345+1次。

接下来分析1出现在除最高位之外的其他4位数的情况中，1346~21345，由于最高位是2，我们把这段数字在分成两段，1346 ~ 11345，11346 ~ 21345，先来看前一段 1346 ~ 11345 ，由于 10001 ~ 11345的万位已经是1固定，我们可以忽略它看成是0001 ~ 1345，前面还剩下1346 ~ 10000，可以看成是0001 ~ 10000，4位数选择其中1位为1，其余三位可以在0 ~ 9这10个数字中任意选择，因此为4 * 10 * 10 * 10次，11346 ~ 21345同理。

至于1 ~ 1345中1出现的次数可以用递归求得，这也是我们为什么要把1~21345 分成 1 ~ 1345和1346 ~ 21345两段的原因，因为把21345的最高位去掉就变成了1345，便于我们采用递归的思路。

int Number_Of_Between_1_And_N(int n)
{
    
    
	if(n<=0)
		return 0;
	char strN[50];
	sprintf(strN,"%d",n);

	return Number_Of_1(strN);
}

int Number_Of_1(const char *strN)
{
    
    
	if(!strN || *strN<'0'||*strN>'9'||*strN == '\0')
		return 0;

	int first = *strN - '0';
	int length = strlen(strN);

	if(length == 1&& first == 0)
		return 0;

	if(length == 1&&first >1)
		return 1;


	//假设strN是“21345”  numFirstDigit 为万位1的次数  
	int numFirstDigit = 0;                                                             
	if(first>1) 
		numFirstDigit = PowerBase10(length-1);
	else if(first == 1) //最高位为1
		numFirstDigit = atoi(strN +1)+1;

	//numOtherDigits 是1346~21345除最高位之外的数位中1的数目  

	int numOtherDigits = first *(length-1)*PowerBase10(length-2);

	//numRecursive 是1~1345中的数目

	int numRecursive = Number_Of_1(strN+1);

	return numFirstDigit + numOtherDigits +numRecursive;
}
int PowerBase10(int n){
    
    
	int result = 1;
	for(int i=0;i<n;i++)
		result = result*10;

	return result;
}