慢速乘

• 这种方法常常用在快速幂里面，替换整数乘法的部分，因为两个大整数相乘可能直接爆掉$longlong$，原理如下
• 因为一个数总是有唯一的二进制表示，所以我们把指数表示成二进制，比如$a\times 3$，那么因为$3=(11{)}_2$，所以$a\times 3=a\times 2+a\times 1$，所以可以很自然的写出程序

typedef long long ll;
ll slowmul(ll x, ll y, ll mod){
    
    
    ll ans = 0;
    while(y){
    
    
        if(y & 1){
    
    
            ans = (ans + x);
            if(ans > mod) ans %= mod;
        }
        x = 2 * x % mod;
        y >>= 1;
    }
    return ans;
}

• 时间复杂度是$O(log(y))$，因为通常情况下$y$都极大，而且需要进行多次乘法，所以速度相对比较慢，不过这种方法基本不会出现溢出问题，因为把一个数一个一个的加再取模已经是优化到极限了，如果还会溢出，那就只能用高精度算法

快速乘

$$xy\%p=xy-\lfloor \frac{x\times y}{p}\rfloor \times p$$

• 根据取模的性质有上述等式成立，然后就可以用一种神奇的溢出方式解决这个问题，但是好像数字过大时候可能会有误差，慎用此法
• 记一下，参考2009年成都七中骆可强国家集训队论文——论程序底层优化的一些方法与技巧

typedef long double ld;
ll ksc(ll x,ll y,ll p){
    
    
	ll z=(ld)x/p*y;
	ll res=(ull)x*y-(ull)z*p;
	return (res+p)%p;
}