题意
传送门 P6058 [加油武汉]体温调查
题解
考虑访问一整个区间 [ s , t ] [s,t] [s,t] 的过程。首先,从树根出发走到节点 s s s,对于区间的相邻两点 u , v u,v u,v,其路径为 u → l c a ( u , v ) → v u\rightarrow lca(u,v)\rightarrow v u→lca(u,v)→v,最后从 t t t 返回根节点。设根节点到节点 u u u 的路径权值为 d s [ u ] ds[u] ds[u],节点 u u u 前驱叶子节点为 p r e ( u ) pre(u) pre(u),路径权值等价于 2 × d s [ s ] 2\times ds[s] 2×ds[s],并加上 ( s , t ] (s,t] (s,t] 区间内节点 u u u 到 l c a ( u , p r e ( u ) ) lca(u,pre(u)) lca(u,pre(u)) 路径权值的两倍。
那么需要预处理出相邻访问的叶子节点间的 L C A LCA LCA。参照 T a r j a n L C A Tarjan\ LCA Tarjan LCA 的思路,使用并查集维护 D F S DFS DFS 中已回溯节点沿父节点方向所走到的第一个未回溯节点,那么 l c a ( p r e ( u ) , u ) lca(pre(u),u) lca(pre(u),u) 就是 p r e ( u ) pre(u) pre(u) 在并查集中的根节点。
二分答案,将原问题转化为判定问题。根据前述讨论,固定左界后随着右界增大,总路径权值单调不降。那么可以尺取法求解判定问题。总时间复杂度 O ( N log N ) O(N\log N) O(NlogN)。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define rep(i, l, r) for (int i = l, _ = r; i < _; ++i)
const int maxn = 200005;
struct edge
{
int to;
ll cost;
bool operator<(const edge &o) {
return to < o.to; }
};
int N, K;
ll ds[maxn];
vector<edge> G[maxn];
vector<ll> chDs, chDf;
int par[maxn];
int find(int x) {
return par[x] == x ? x : (par[x] = find(par[x])); }
void dfs(int u, ll d, int &pre)
{
ds[u] = d;
for (auto &e : G[u])
dfs(e.to, d + e.cost, pre), par[e.to] = u;
if (G[u].size() == 0)
{
chDs.push_back(d);
if (pre != -1)
{
int lca = find(pre);
chDf.push_back(ds[u] - ds[lca]);
}
else
chDf.push_back(0);
pre = u;
}
}
bool judge(ll lim)
{
int s = 0, t = 0, n = chDs.size(), cnt = 0;
ll sum = 0;
for (;;)
{
while (t < n && (chDs[s] << 1) + sum + (s == t ? 0 : (chDf[t] << 1)) <= lim)
sum += (s == t ? 0 : (chDf[t] << 1)), ++t;
++cnt;
if (t == n)
break;
if (s == t)
return 0;
sum = 0;
s = t;
}
return cnt <= K;
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
cin >> N >> K;
rep(i, 1, N)
{
int u, v, w;
cin >> u >> v >> w;
--u, --v;
G[u].push_back(edge{
v, w});
}
rep(i, 0, N) sort(G[i].begin(), G[i].end());
rep(i, 0, N) par[i] = i;
int pre = -1;
dfs(0, 0, pre);
ll lb = -1, ub = 1e18;
while (ub - lb > 1)
{
ll mid = (lb + ub) >> 1;
if (judge(mid))
ub = mid;
else
lb = mid;
}
cout << ub << '\n';
return 0;
}