试题 E: 路径
本题总分:15 分
【问题描述】
小蓝学习了最短路径之后特别高兴,他定义了一个特别的图,希望找到图中的最短路径。小蓝的图由 2021 个结点组成,依次编号 1 至 2021。
对于两个不同的结点 a, b,如果 a 和 b 的差的绝对值大于 21,则两个结点之间没有边相连;如果 a 和 b 的差的绝对值小于等于 21,则两个点之间有一条长度为 a 和 b 的最小公倍数的无向边连。
例如:结点 1 和结点 23 之间没有边相连;结点 3 和结点 24 之间有一条无向边,长度为 24;结点 15 和结点 25 之间有一条无向边,长度为 75。
请计算,结点 1 和结点 2021 之间的最短路径长度是多少。
提示:建议使用计算机编程解决问题。
【答案提交】
这是一道结果填空的题,你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数,在提交答案时只填写这个整数,填写多余的内容将无法得分。
解题思路:
用邻接矩阵存储各边的权值,注意单个顶点的权值为无穷大,两顶点绝对小于等于21的为其最大公倍数。求两点间的最短路径,由于是填空题,可以不用考虑时间复杂度,直接用floyd算法。利用动态规划思想,将所有两顶点间距离都求出至辅助数组。最后直接输出待求两边即可。
floyd算法https://blog.csdn.net/weixin_48898946/article/details/121019298
java代码:
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Graph graph = new Graph();
graph.createGraph();
graph.floyd();
}
}
class Graph{
int []vertex = new int[2021];
int [][]edge = new int[2021][2021];
int distance[][];
int INF = 0x3f3f3f3f;
public void createGraph() {
for(int i = 0; i < 2021;i++) {
vertex[i] = i + 1;
}
for(int i = 0; i < 2021;i++) {
for(int j = 0; j < 2021;j++) {
if(Math.abs(vertex[i] - vertex[j]) <= 21) {
if(Math.abs(vertex[i] - vertex[j]) == 0) {
edge[i][j] = INF;
}else {
edge[i][j] = getNumb(vertex[i], vertex[j]);
}
}else {
edge[i][j] = INF;
}
}
}
distance = edge;
}
public void floyd() {
for(int k = 0; k < 2021;k++) {
for(int i = 0; i < 2021;i++) {
for(int j = 0; j < 2021;j++) {
int len = edge[i][k] + edge[k][j];
if(edge[i][j] > len) {
edge[i][j] = len;
}
}
}
}
System.out.println(distance[0][2020]);//输出顶点1到顶点2021的最短距离
}
public int getNumb(int a,int b) {
return a / getNum(a, b) * b;
}
private int getNum(int a,int b) {
int z = Math.max(a, b);
int y = Math.min(a, b);
while(true) {
if(z % y == 0)return y;
int temp = z;
z = y;
y = temp % y;
}
}
}
程序输出:
10266837