【统计学习笔记】习题二
感知机不能表示异或
设异或输出1为正类,输出0为负类。若存在超平面可以正确分类,则有
{ − b > 0 ω ( 1 ) + b > 0 ω ( 2 ) + b > 0 − ω ( 1 ) − ω ( 2 ) − b > 0 \begin{cases} -b>0\\ \omega_{(1)}+b>0\\ \omega_{(2)}+b>0\\ -\omega_{(1)}-\omega_{(2)}-b>0 \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧−b>0ω(1)+b>0ω(2)+b>0−ω(1)−ω(2)−b>0
将后三个式子相加得b>0,与第一式矛盾,故感知机不能表示异或。
感知机例子
import pandas as pd
import numpy as np
from sklearn.datasets import load_iris
import matplotlib.pyplot as plt
# load data
iris = load_iris()
df = pd.DataFrame(iris.data, columns=iris.feature_names)
df['label'] = iris.target
df.columns = ['sepal length', 'sepal width', 'petal length', 'petal width', 'label']
data = np.array(df.iloc[:100, [0, 1, -1]])
X, y = data[:,:-1], data[:,-1]
y = np.array([1 if i == 1 else -1 for i in y])
# 数据线性可分,二分类数据
# 此处为一元一次线性方程
class Model:
def __init__(self):
self.w = np.ones(len(data[0])-1, dtype=np.float32)
self.b = 0
self.l_rate = 0.1
# self.data = data
def sign(self, x, w, b):
y = np.dot(x, w) + b
return y
# 随机梯度下降法
def fit(self, X_train, y_train):
is_wrong = False
while not is_wrong:
wrong_count = 0
for d in range(len(X_train)):
X = X_train[d]
y = y_train[d]
if y * self.sign(X, self.w, self.b) <= 0:
self.w = self.w + self.l_rate*np.dot(y, X)
self.b = self.b + self.l_rate*y
wrong_count += 1
if wrong_count == 0:
is_wrong = True
return 'Perceptron Model!'
perceptron = Model()
perceptron.fit(X, y)
x_points = np.linspace(4, 7,10)
y_ = -(perceptron.w[0]*x_points + perceptron.b)/perceptron.w[1]
plt.plot(x_points, y_)
plt.plot(data[:50, 0], data[:50, 1], 'bo', color='blue', label='0')
plt.plot(data[50:100, 0], data[50:100, 1], 'bo', color='orange', label='1')
plt.xlabel('sepal length')
plt.ylabel('sepal width')
plt.legend()
样本集线性可分的充要条件:正负类凸壳互不相交
充分性
若样本集线性可分,正类凸壳中的每个点可以表示为:
ω ⋅ x + + b = ω ⋅ ∑ λ i + x i + + b = ∑ λ i + ( ω ⋅ x i + + b ) ≥ ∑ λ i + ϵ = ϵ > 0 ( ϵ 为 任 意 正 数 ) \omega\cdot x^++b=\omega\cdot\sum\lambda^+_ix^+_i+b\\ =\sum\lambda^+_i(\omega\cdot x^+_i+b)\\ \geq\sum\lambda^+_i\epsilon=\epsilon>0(\epsilon为任意正数) ω⋅x++b=ω⋅∑λi+xi++b=∑λi+(ω⋅xi++b)≥∑λi+ϵ=ϵ>0(ϵ为任意正数)
同理可得 ω ⋅ x − + b < 0 \omega\cdot x^-+b<0 ω⋅x−+b<0。故两个凸壳互不相交。
必要性
若正负类凸壳互不相交,则对于正负类凸壳中每一点存在向量w和实数b,满足:
{ ω ⋅ x + + b > 0 ω ⋅ x − + b < 0 \begin{cases} \omega\cdot x^++b>0\\ \omega\cdot x^-+b<0 \end{cases} {
ω⋅x++b>0ω⋅x−+b<0
故对样本中的所有负类点,满足
ω ⋅ x i + b < 0 \omega\cdot x_i+b<0 ω⋅xi+b<0
对样本中的所有正类点,满足
ω ⋅ x i + b > 0 \omega\cdot x_i+b>0 ω⋅xi+b>0
故样本集线性可分。