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一、引入
1.1 信号分解的基本思想
信号分析的基本思想之一是将复杂信号用基本信号表示,这样就能通过简单信号的性质来分析复杂信号。这里要求基本信号应具有: (1)由这些基本信号能够构成相当广泛的一类信号 (2)线性时不变系统(LTIS)对基本信号的响应应当十分简单,以使其对任意输入信号的响应都有很方便的表达式
举例而言,基本信号可以是冲激函数
x(t)=∫x(τ)δ(t−τ)dτ
上式即为连续时间信号的冲激分解,利用的是冲激函数的采样性质
将信号冲激分解后,就可以简单地利用冲激响应来表示输出:
y(t)=∫x(τ)h(t−τ)dτ
1.2 系统特征函数
若系统对一个信号的响应仅为一个常数乘以该信号,则称该信号为此系统的特征函数,这个常数可以视作幅度因子,定义为特征值
1.3 复指数分解
按照1.1的思路,考察具有类似性质的基本信号——复指数 设激励
x(t)=ests∈C,则输出通过上面说的冲激响应表示为:
y(t)=∫h(τ)x(t−τ)dτ=est∫h(τ)e−sτdτ=estH(s)
按照1.2的定义知道,复指数信号为LTIS的特征函数,对任一给定的
s,常数
H(s)为特征值;而对于一般的
s,
H(s)为关于
s的函数,称为系统函数,当
s为纯虚数时,
H(jw)称为系统频率响应,下面要引入的傅里叶分析都是建立在
s=jw的基础上,当
s为一般复数时,考察的是拉普拉斯变换,本文不赘述。
那么复指数是否满足1.1节基本信号的要求呢?
为便于理解,先给出离散信号
x(t)=∑kckeskt,则响应
y(t)=∑kckH(sk)eskt,即若信号可以进行复指数分解,则响应可表示为相同复指数的线性组合,系数与输入和频率响应相关
可见,复指数信号完美地符合了1.1的要求,在此基础上就建立起了傅里叶分析。
二、周期信号的傅里叶级数
2.1 谐波复指数集
设
x0(t)=ejω0t,定义基波频率为
ω0,基波周期为
T0 令谐波信号集:
ψk(t)=ejkω0t,k=0,±1,±2⋯
其中
k=0时为直流分量,
k=±N时为
N次谐波分量 注意到谐波复指数集中,每一个信号都可以
T0为周期,这是因为:
ψk(t)=ej(kω0)t⇒Tk=∣k∣ω02π=∣k∣T0
即每经过一个
T0,相当于经过了
∣k∣个相应的谐波周期。因此,谐波复指数集的线性组合也就以
T0为周期:
x(t)=k=−∞∑+∞akejkω0t(1)
2.2 傅里叶级数
2.2.1 表示形式
在信号
x(t)可以复指数分解的条件下研究此问题。考察(1)式,现实中绝大多数信号为实信号,因此认为
x(t)为实数,满足:
x(t)=k=−∞∑+∞akejkω0t
由
x(t)=x(t)导出:
x(t)=k=−∞∑+∞a−kejkω0t
进一步:
x(t)=a0+k=1∑+∞[akej(kω0)t+akej(kω0)t]=a0+2k=1∑+∞Re{akej(kω0)t}
- 若
ak以极坐标形式给出,即
ak=Akejw0,此时
x(t)=a0+2k=1∑+∞Akcos[(kω0)t+θk](2)
- 若
ak以笛卡尔坐标形式给出,即
ak=Bk+jCk,此时
x(t)=a0+2k=1∑+∞[Bkcos(kω0t)−Cksin(kω0t)](3)
对于周期函数,(1)式即为傅里叶级数的复指数形式;(2)式为傅里叶级数的三角形式(极坐标下);(3)式为傅里叶级数的三角形式(笛卡尔坐标下)。一般地,若信号能展开为傅里叶级数,其表示形式必为(1)(2)(3)之一
2.2.2 收敛条件
并非所有周期信号都可以级数展开,即,并非所有信号都可以进行复指数分解。一般而言,满足Dirchlet条件的信号必可进行傅里叶分析,不满足Dirchlet条件的信号没有傅里叶级数形式,但可能有傅里叶变换。
Dirchlet条件 (1)信号绝对可积 (2)在任何有限区间内,信号只有有限个最值 (3)在任何有限区间内,信号只有有限个不连续点,且每个不连续点处都只有有限值
2.2.3 傅里叶系数
若信号满足Dirchlet条件,必能复指数分解为:
x(t)=k=−∞∑+∞akejkω0t
现在问题在于傅里叶系数
ak的确定,可以采用以下方式求得:
e−j(nω0)tx(t)=k=−∞∑+∞akej(k−n)ω0t
两边同时在基波周期内积分:
∫Te−j(nω0)tx(t)dt=k=−∞∑+∞∫Takej(k−n)ω0tdt⇒∫Te−j(nω0)tx(t)dt=k=−∞∑+∞ak∫T[cos(k−n)w0t+jsin(k−n)w0t]dt
2.1节说过,谐波复指数集共同周期是基波周期,而三角函数一个周期内积分为0,在这里
T=∣k−n∣Tk,因此等式左边在
k=n时为0,
k=n时为
T,即:
∫Te−j(nω0)tx(t)dt=anT
由于
k=n,所以改写为:
ak=T1∫Te−j(kω0)tx(t)dt(4)
此式即为傅里叶系数求解公式。
三、傅里叶变换
3.1 周期矩形脉冲信号
按照(4)式求解其傅里叶系数,得到:
ak=kω0T2Esin(kω0T1)
从两个角度审视此式:
- 视其为关于
k的函数,即
a(k)=kω0T2Esin(kω0T1)
此时相当于将傅里叶系数等距离地排列在
k轴上,因此当
T趋于无穷时,
∣ak∣趋于0,即非周期信号的傅里叶系数幅度趋于0,正因如此,在幅度频谱中就看不出任何信息,所以对于非周期信号,不能仅关注
ak
- 视其为包络线的采样
此时,视为:
akT=ω2Esin(ωT1)∣w=kw0
考虑关于
w的函数
f(w)=ω2Esin(ωT1),
akT就表示对
f(w)上
w=kw0的位置进行采样。显然上面的采样间隔为
w0=2π/T,因此随着
T不断增大,就出现了图2(a)->(c)取样变密的现象
重点理解的地方来了!!
注意这里
T趋于无穷时,
∣ak∣依然趋于0,但可见的是
∣ak∣T是有限值(落在
f(w)上),因此
∣ak∣T的意义就是在
∣ak∣趋于0的情况下,通过T的加权作用,在一个有限的范围内显示出
∣ak∣间的相对大小关系,简言之,
∣ak∣T把肉眼不可见的非周期信号的傅里叶系数放大到肉眼可见,这其实就是傅里叶变换的引入基础。
3.2 傅里叶变换对
从3.1节知道,傅里叶变换的出发点,就是傅里叶系数的幅度加权与包络采样,因此:
X(w)∣w=kw0=akT
从而,
X(w)=−∞∫+∞x(t)e−jwtdt(5)
代入
x(t)=∑k=−∞+∞akejkω0t中即得:
x(t)=2π1−∞∫+∞X(w)ejwtdw(6)
(5)(6)式合称为一对傅里叶变换对,(5)式称为傅里叶变换积分
四、傅里叶级数与傅里叶变换的联系
4.1 信号三参数
这里定义信号的三参数为幅度、初相、频率(或角频率),在傅里叶分析中,只要确定组成信号的所有复指数信号的三参数,就可以完全表征。无论是傅里叶级数还是傅里叶变换,事实上都是在求一个包含三参数的表达式来表示一个信号。
在傅里叶级数展开中,傅里叶系数表示了在频率
w=kw0时复指数信号的幅度和相位;在傅里叶变换中,傅里叶积分
X(w)表示了全频率复指数信号的三参数信息——可以认为是公式化的频谱
具体来说,列于下表:
|
幅度 |
相位 |
频率 |
ak |
绝对值 |
绝对值 |
|
X(w) |
加权相对值 |
绝对值 |
绝对值 |
事实上,不应该以信号的周期与否来割裂傅里叶变换与傅里叶级数。换言之,周期信号与非周期信号都有相应的傅里叶变换和傅里叶系数,只不过周期信号的傅里叶变换为冲激函数的线性组合,非周期信号的傅里叶系数趋于0,但有相对大小。
4.2 几何直观
几何直观上,傅里叶变换是连续函数,因为其对象是全频率;傅里叶级数是离散的,因为其对象是采样的部分频率。
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