说明:本文主要参考资料为奥本海姆的《信号与系统》(第二版),推导过程中融入了少量个人理解。
假设我们已经知晓了周期信号的傅里叶级数展开,在连续信号条件下,其傅里叶级数对为
x(t)=∑k=−∞+∞akejkω0t=∑k=−∞+∞akejk(2π/T)t(1)
ak=1T∫Tx(t)e−jkω0tdt=1T∫Tx(t)e−jk(2π/T)tdt(2)
其中,公式(1)为综合公式,它描述如何将原始信号
x(t)
分解,公式(2)为分析公式,
ak
表示信号
x(t)
的傅里叶系数(也称为频谱系数),其物理意义是原始信号
x(t)
分解出来的每一个谐波分量强度的度量,其中当
k=0
时,即
a0
就是原始信号
x(t)
的直流分量(也称为常数分量)。
类似地,在离散信号条件下,其傅里叶级数对为
x[n]=∑k=⟨N⟩akejkω0n=∑k=⟨N⟩akejk(2π/N)n(3)
ak=1N∑n=⟨N⟩x[n]e−jkω0n=1N∑n=⟨N⟩x[n]e−jk(2π/N)n(4)
其中,公式(3)为综合公式,公式(4)为分析公式,其物理意义与上述连续信号类似。
现在我们需要将其表示傅里叶展开的手法推广到非周期信号,首先引入基本思想:
非周期信号,可以被想象成周期无穷大的周期信号。对于周期信号而言,它的周期越大,那么它的基波频率
ω0=2π/T
就越小,同时分解出来的各个频率分量之间的“距离”也越近,这是因为频谱图频率轴上样本的间隔为
2π/T
(因为在周期复指数信号
e jω0t
中
ω0
表示频率,相应地这里
k(2π/T)
为频率,
k
为整数,因此间隔为
2π/T
),它随着周期的增大而变小。这样,在周期趋近于无穷大时,这些频率轴上的样本会越来越密,傅里叶展开由原来的许多项进行离散求和,而变为连续积分。
现在,我们假设有一个非周期信号
x(t)
,它具有有限的持续期,从该信号出发,可以构建一个信号
x~(t)
,使得
x(t)
是
x~(t)
的一个周期,这样当周期
T
无穷大时,
x(t)
就可以等于
x~(t)
,由于
x~(t)
是名义上的周期信号,因此我们可以先观察
x~(t)
的傅里叶级数展开情况。
x(t)
和
x~(t)
的函数示意图如下图所示。
将信号
x~(t)
进行傅里叶展开,求解系数时,将积分区间设定为
−T/2≤t≤T/2
,有
x~(t)=∑k=−∞+∞akejkω0t(5)
ak=1T∫T/2−T/2x~(t)e−jkω0tdt(6)
其中
ω0=2π/T
,由于当
|t|<T/2
时
x(t)=x~(t)
,当
|t|≥T/2
时
x(t)=0
,所以(6)式可以改写为
ak=1T∫T/2−T/2x(t)e−jkω0tdt=1T∫+∞−∞x(t)e−jkω0tdt(7)
将(7)式两边乘以
T
,约掉等式右边的分母
T
,有
Tak=∫+∞−∞x(t)e−jkω0tdt(8)
对上述(8)式进行变量替换,将
kω0
替换为
ω
,得到
Tak
的包络
X(jω)
X(jω)=∫+∞−∞x(t)e−jωtdt(9)
这样,按照这种表达方式,可以重新将傅里叶系数表示为
ak=1TX(jω)=1TX(jkω0)(10)
此时,再将刚刚得到的(10)式带入(5)式,可以重新描述
x~(t)
的傅里叶展开式
x~(t)=∑k=−∞+∞1TX(jkω0)ejkω0t(11)
又因为
2π/T=ω0
,因此(11)式可以进一步改写为
x~(t)=12π∑k=−∞+∞X(jkω0)ejkω0t(12)
上文已经提及,将傅里叶变换理解为周期无穷大的特殊情形,此时的傅里叶展开会
由原来的离散求和变为连续积分,因此当
T→∞
时,
x~(t)→x(t)
,上述(12)式将过渡为连续积分,并与上述公式(9)结合起来,有
x(t)=12π∫+∞−∞X(jω)ejωtdω(13)
X(jω)=∫+∞−∞x(t)e−jωtdt(9)
公式(13)和公式(9)就是傅里叶变换对,其中上面一行的公式(13)称为傅里叶逆变换(inverse Fourier transform),下面一行的公式(9)称为
x(t)
的傅里叶变换(Fourier transform)或傅里叶积分,
X(jω)
通常称为
x(t)
的频谱。
这样,从傅里叶级数到傅里叶变换的推导就完成了。
总结:从傅里叶级数展开,到傅里叶变换,关键并不在于其中的数学推导,上述的代数推导中主要以变量替换为主,其表达方式与傅里叶级数展开并无太大区别,真正需要我们理解的是其中的思想:周期无穷大后,因为频率样本越来越密集,从而形成连续积分。明白了这一点,就不难理解傅里叶变换了。