本贴深入分析基本的逻辑悖论.
0. 悖论描述
张三说: 我在说谎. (I’m lying.)
问题: 这个命题的取值为真 (true) 还是假 (false)?
1. 层次 1: 悖论的产生
如果该命题为真, 则张三是个说谎的人, 但说谎的人怎么承认自己说谎 (说了句真话) 呢? 矛盾.
如果该命题为假, 则张三是个诚实的人, 但诚实人怎么会说自己说谎呢? 矛盾.
综上所述, 该命题既不能为真, 也不能为假, 因此是一个悖论.
2. 层次 2: 描述的转换
将该悖论转换成如下.
张三说: 我是骗子. (I am a liar.)
本质上, 这个悖论并没有发生什么改变. 该它与前者的区别在于: 前者只有一个主体和一个动词, 而后者是两个主体 (名词). 这为我们后面建模提供了方便.
3. 层次 3: 用符号表示
令 A A A 表示张三, T \textrm{T} T (true) 表示诚实人, F \textrm{F} F (false) 表示骗子.
则原命题表示为 A = F A = \textrm{F} A=F. 这里的等号是逻辑运算, 判断是否相等.
如果该命题为真, 即 A = F A = \textrm{F} A=F 的取值为 T \textrm{T} T, 则 A A A 的取值为 F \textrm{F} F, 张三是个骗子, 但骗子怎么承认自己说谎 (说了句真话) 呢? 矛盾.
如果该命题为假, 即 A = F A = \textrm{F} A=F 的取值为 F \textrm{F} F, 则 A A A 的取值为 T \textrm{T} T, 张三是个诚实人, 但诚实人怎么怎么会说自己说谎呢? 矛盾.
4. 层次 4: 断言与主体的分离
令 A P A_P AP 表示张三这个人的品德. A T A_T AT 表示张三的具体言行.
如前所述, 原命题表示为: A T = F A_T = \textrm{F} AT=F. 另一方面, 我们要求一个人的品德与言行一致, 即:
A P = A T A_P = A_T AP=AT 且 A P = ( A T = F ) A_P = (A_T = \textrm{F}) AP=(AT=F). 它们能同时成立吗?
如果前述的命题为真, 即 A T = F A_T = \textrm{F} AT=F 的取值为 T \textrm{T} T, 则 A T A_T AT 与 A P A_P AP 的取值为 F \textrm{F} F, A P = ( A T = F ) A_P = (A_T = \textrm{F}) AP=(AT=F) 的取值为 F \textrm{F} F.
如果前述的命题为假, 即 A T = F A_T = \textrm{F} AT=F 的取值为 F \textrm{F} F, 则 A T A_T AT 与 A P A_P AP 的取值为 T \textrm{T} T, A P = ( A T = F ) A_P = (A_T = \textrm{F}) AP=(AT=F) 的取值为 F \textrm{F} F.
即张三的品德与言行不可能一致, 矛盾.
5. 层次 5: 真值表
真值表是《离散数学》课程涵盖的内容. 用它来分析最合适了.
A T A_T AT | A P A_P AP | A T = F A_T = \textrm{F} AT=F | A P = ( A T = F ) A_P = (A_T = \textrm{F}) AP=(AT=F) |
---|---|---|---|
T \textrm{T} T | T \textrm{T} T | F \textrm{F} F | F \textrm{F} F |
F \textrm{F} F | F \textrm{F} F | T \textrm{T} T | F \textrm{F} F |
从这里看出, 如果要求品德与言行一致, 即 A P = A T A_P = A_T AP=AT, 则最后一列的一定为 F.
6. 层次 6: 命题的层次
原命题表示为: A T = F A_T = \textrm{F} AT=F, 它是一个悖论.
真值表中最后一列表述为: A P = ( A T = F ) A_P = (A_T = \textrm{F}) AP=(AT=F), 它是一个恒为 F \textrm{F} F 的表达式.
换言之, 如果我们把命题上升一个层次, 悖论就不复存在.
7. 层次 7: 对偶的悖论
李四说: 我说的是真话. (I’m telling the truth)
如果该命题为真, 则李四是个诚实的人, 诚实人说自己诚实, 没毛病.
如果该命题为假, 则李四是个不诚实的人, 不诚实人的说自己诚实 (其实也是一种欺骗), 没毛病.
综上所述, 该命题既可为真, 也可为假, 因此也是一个悖论.
小结
问题理解、描述转换、符号表示、主体分解、真值表使用、对偶构造. 从简单烧脑到专业招数, 你学会了吗?
习题
- 以上数学表达式中, 有个地方换个符号, 使得表达式更短, 把它找出来.
- 对于层次 2, 雪阳同学认为: “表述上有些问题. 独立出陈述的人这个主体, 就会让悖论没有那么相悖. 悖论需要在一个更有局限的情况下.” 你认为应该如何解决这个问题?
- 分析 I’m telling the truth.
- 受真值表的启发, 你能构造出更多的悖论吗 (我觉得应该可以, 但还没试过)?
- 在一个小岛上, 理发师是给那些不给自己理发的人理发的人. 请分析这个集合悖论.