Ackermann函数定义如下:
1,请采用备忘录方法设计一个求解该函数的递归算法。
2,请用动态规划方法设计一个非递归求解算法,该算法由两个嵌套循环组成,只能使用O(m)内的空间。
解法一:备忘录方法
解法二:动态规划方法
用两个一维数组ind[i]和val[i],使得当ind[i]等于t时,val[i] = A(i, ind[i])。初始时,令ind[0] = 0,val[0] = 1,ind[i] = -1(i > 0),val[i] = -1(i>0)。
1,当m = 0时,A(m,n) = n+1。任给一个t,当ind[0] = t时,能够求出val[0]的值,该值等于ind[0]+1;
2,当n = 0,m > 0时,A(m,n) = A(m-1,1)。能够求出当ind[i] = 0时,val[i]的值,该值等于当ind[i-1]等于1时val[i-1]的值;
3,当m > 0,n > 0时,A(m,n) = A(m-1,A(m,n-1))。当ind[i] = t,val[i] = s时,要求当ind[i]' = t + 1时val[i]'的值。val[i]' = A(i,ind[i]') = A(i-1,A(i,ind[i]' - 1)) = A(i-1, A(i,ind[i])) = A(i-1,val[i])。所以,当ind[i-1] = val[i]时,val[i]' = val[i-1]。
算法如下:
int ack(int m,int n)
{
int i,j;
int[] val=new int[m+1];
int[] ind=new int[m+1];
for(i=1;i<=m;i++)
{
ind[i]=-1;
val[i]=-1;
}
ind[0]=0;
val[0]=1;
while(ind[m]<n)
{
val[0]++;
ind[0]++;
for(j=1;j<=m;j++)
{
if(1==ind[j-1])
{
val[j]=val[j-1];
ind[j]=0;
}
if(val[j]!=ind[j-1])
break;
ind[j]++;
val[j]=val[j-1];
}
}
return val[m];
}
Java代码如下:
package ackermann; public class Ackermann_2 { public static void main(String[] args) { // TODO Auto-generated method stub System.out.println(ack(4,0)); } public static int ack(int m, int n) { int i,j; int[] val=new int[m+1]; int[] ind=new int[m+1]; for(i=1;i<=m;i++) { ind[i]=-1; val[i]=-1; } ind[0]=0; val[0]=1; while(ind[m]<n) { val[0]++; ind[0]++; for(j=1;j<=m;j++) { if(1==ind[j-1]) { val[j]=val[j-1]; ind[j]=0; } if(val[j]!=ind[j-1]) break; ind[j]++; val[j]=val[j-1]; } } return val[m]; } }对代码进行实例测试结果如下:(与备忘录方法的测试实例相同)
ack(0,5) = 6
ack(1,5) = 7
ack(2,4) = 11
ack(3,6) = 509
ack(4,0) = 13