陶哲轩实分析 3.4
3.4.1
设
证明
根据定义:
由
所以
所以
由
所以
所以
所以
3.4.2
设
所以有
设
设
也就是说
因为前面已知:
所以
所以
3.4.3
证明
f(A∩B)⊆f(A)∩f(B)
f(A∩B)⊆f(A)
f(A∩B)⊆f(B)
所以:
f(A∩B)⊆f(A)∩f(B) 证明
f(A)∖f(B)⊆f(A∖B)
f(A)∖f(B)={x∈f(A):x∉f(B)} ∀y0∈f(A)∖f(B) 都存在一个对应的x0∈A 满足y0=f(x0) 。
同时这个x0∉B ,否则f(x0)∈f(B) 与∀y0∈f(A)∖f(B) 矛盾。
所以这个y0∈{f(x):x∈A∖B}=f(A∖B)
所以f(A)∖f(B)⊆f(A∖B) 证明
f(A∪B)=f(A)∪f(B) ∀y0∈f(A∪B) 都存在一个对应的x0∈A∪B 满足f(x0)=y0 。
所以x0∈A 或者x0∈B ,所以y0∈f(A) 或者y0∈f(B)
所以y0∈f(A)∪f(B)
所以f(A∪B)⊆f(A)∪f(B)
∀y0∈f(A)∪f(B) ,那么y0∈f(A) 或y0∈f(B)
所以存在一个对应的x0 满足y0=f(x0) 并且x0∈A 或者x0∈B
所以x0∈A∪B
所以y0∈f(A∪B)
所以f(A)∪f(B)⊆f(A∪B)
所以f(A)∪f(B)=f(A∪B)
3.4.4
- 证明
f−1(U∪V)=f−1(U)∪f−1(V)
f−1(U∪V)={x∈X:f(x)∈U∪V}
所以∀x0∈f−1(U∪V) 有f(x0)∈U∪V ,所以f(x0)∈U 或者f(x0)∈V
所以x0∈f−1(U)∪f−1(V)
所以f−1(U∪V)⊆f−1(U)∪f−1(V)
∀x0∈f−1(U)∪f−1(V) 有x0∈f−1(U) 或者x0∈f−1(V)
所以f(x0)∈U 或则f(x0)∈V
所以f(x0)∈U∪V
所以x0∈f−1(U∪V)
所以f−1(U)∪f−1(V)⊆f−1(U∪V)
所以f−1(U∪V)=f−1(U)∪f−1(V) 证明
f−1(U∩V)=f−1(U)∩f−1(V)
∀x0∈f−1(U∩V) 有f(x0)∈U∩V
所以f(x0)∈U 同时f(x0)∈V
所以x0∈f−1(U) 同时x0∈f−1(V)
所以x0∈f−1(U)∩f−1(V)
所以f−1(U∩V)⊆f−1(U)∩f−1(V)
∀x0∈f−1(U)∩f−1(V) 有f(x0)∈U 同时f(x0)∈V
所以f(x0)∈U∩V
所以x0∈f−1(U∩V) 证明
f−1(U∖V)=f−1(U)∖f−1(V)
∀x0∈f−1(U∖V) 有f(x0)∈U∖V
所以f(x0)∈U 同时f(x0)∉V
所以x0∈f−1(U) 同时x0∉f−1(V)
所以x0∈f−1(U)∖f−1(V)
所以f−1(U∖V)⊆f−1(U)∖f−1(V)
∀x0∈f−1(U)∖f−1(V) ,We havex0∈f−1(U) andx0∉f−1(V)
sof(x0)∈U andf(x0)∉V
thenf(x0)∈U∖V
thenx0∈f−1(U∖V)
所以f−1(U∖V)=f−1(U)∖f−1(V)
3.4.5
先证明充分性:
反证法:假设
那么构造一个
所以
再证明必要性:
设
所以
因为
由
所以
所以
3.4.6
证明引理 3.4.9: 设 X 是集合,那么集合
设
这个 集合的每一个元素
3.4.7
XY 是集合,定义一个部分函数:
全体
设
那么固定
再次运用并公理,可以构造一个集合
这个集合就是全体部分函数构成的集合.
3.4.8
证明双并公理可以由单双元素集公理和并公理推导出来.
给定任何两个集合
由并公理可知存在一个集合
3.4.9
证明
所以
同理
所以