随机样本
在数理统计中,我们往往研究有关对象的某一项数量指标(例如研究某种型号灯泡的寿命这一数量指标)。为此,考虑与这一数量指标相联系的随机试验,对这一数量指标进行试验或观察。
我们将试验的全部可能的观察值称为总体。
这些值都不一定不相同,数目上也不一定是有限的,每一个可能的观察值称为个体。
总体中包含的个体的个数称为总体的容量,
容量为有限的称为有限总体,
容量为无限的称为无限总体。
定义:
设
X
是具有分布函数
F
的随机变量,若
X1,X2,⋯,Xn
是具有同一个分布函数
F
的,相互独立的随机变量,则称
X1,X2,⋯,Xn
为分布函数
F
(或者总体
F
、或总体
X
)的到的容量为
n
的简单随机样本,简称样本,他们的观察值
x1,x2,⋯,xn
称为样本值,又称
X
为
n
个独立变量的观察值。
抽样分布
定义:
设
X1,X2,⋯,Xn
是来自总体
X
的一个样本,
g(X1,X2,⋯,Xn)
的函数,若
g
中不含未知参数,则称
g(X1,X2,⋯,Xn)
是一统计量
因为
X1,X2,⋯,Xn
都是随机变量,而统计量
g(X1,X2,⋯,Xn)
是随机变量的函数,因此统计量是一个随机变量。设
x1,x2,⋯,xn
是相应于样本
X1,X2,⋯,Xn
的样本值,则称
g(x1,x2,⋯,xn)
是
g(X1,X2,⋯,Xn)
的 观察值
样本平均值:
统计量
X¯¯¯¯=1n∑i=1nXi
观察值
x¯¯¯=1n∑i=1nxi
样本方差:
统计量
S2=1n−1∑i=1n(Xi−X¯¯¯¯)2=1n−1(∑i=1nX2i−nX¯¯¯¯2)
观察值
s2=1n−1∑i=1n(xi−x¯¯¯)2=1n−1(∑i=1nx2i−nx¯¯¯2)
样本标准差:
统计量
S=S2−−√=1n−1(∑i=1nX2i−nX¯¯¯¯2)−−−−−−−−−−−−−−−−−−√
观察值
s=s2−−√=1n−1(∑i=1nx2i−nx¯¯¯2)−−−−−−−−−−−−−−−−√
样本
k
阶(原点)矩:
统计量
Ak=1n∑i=1nXki,k=1,2,⋯;
观察值
ak=1n∑i=1nxki,k=1,2,⋯;
样本
k
阶中心矩:
统计量
Bk=1n∑i=1n(Xi−X¯¯¯¯)k,k=2,3,⋯;
观察值
bk=1n∑i=1n(xi−x¯¯¯)k,k=2,3,⋯;