一，IBL(image-based lighing)

• IBL应用条件：假设光源无限远（当光源和物体有确定的距离的时候就不能用了）

1.0 漫反射部分：球谐光照

这里的内容老师放到后边专门讲了，见第四部分。

1.1 镜面反射部分：Split-Sum近似

• 环境光照和直接光照的渲染方程是一样的，熟悉的渲染方程：
  

• 由于公式里的BRDF项在光滑材质上只对镜面方向反射、在粗糙材质上对各个方向均匀反射（均匀=积分域smooth），这里之前数学课（L3）上讲到的积分近似公式就派上用场（积分域比较小或者smooth的情况下，该近似比较准确----这不是巧了吗）：
  

• 带入渲染方程得到下式：
  
  「注意：阴影用了同一个公式但是拆解出来的是可见性项，可以灵活运用
  
  」

• Split-Sum近似（求和与积分的区别）：
  

• 由上，咱们镜面反射部分的渲染方程可以被写作：
  
  这样就拆分为了光亮度的均值和环境 BRDF两项，然后对两项分别进行离线预计算。

1.1.1 第一项：预滤波环境贴图

• 如果想要算出精确的lightling项，需要在BRDF的lobe（反射波瓣）区域采样后做平均，但先采样后平均≈先平均后采样，因此我们进行先平均（模糊）后采样的操作。
• 具体到渲染器里就是对环境贴图模糊处理，越粗糙积分域越大越模糊（即cubemap mipmap）；这个操作可以在渲染之前就完成，在渲染器里就是预滤波Prefiltering；不同模糊等级的mipmap用BRDF来确定（实际用粗糙度），通过三线性插值取两个mipmap之间的结果。
• tips：
  1. 这里是在对球面做滤波，因此对贴图做滤波的核的大小的单位是立体角。
  2. 漫反射diffuse其实也相当于对整个环境贴图做平均（沿normal方向），但在真正实现的时候我们会对duffuse单独处理，见第四部分球谐光照，所以不用考虑它。

1.1.2 第二项：BRDF预计算

• 真正计算BRDF项时至少涉及5个维度----粗糙度, r, g, b, 角度
• 在101中我们学过菲涅尔项的Schlick近似写法和NDF的Beckmann描述：
  
  
• 由于在实时渲染中，入射反射夹角和入射半角夹角近似相等，${\theta }_h$又可以通过这三个角度计算得到，因此可以看成是一个角维度，再加上粗糙度、R0（F0），一共三个维度。
• 这时再把菲涅尔项的Schlick近似带入原式，发现分解成了F0 * Scale + Offset的形式：
  
• 由于F0在实际操作中可以看为常数，因此这时就剩两个维度了，F0和粗糙度，把它预计算出来：
  

二，环境光照阴影问题现状

• 知道环境光后该如何生成环境光下的阴影呢？遗憾的是，并没有特别好的解决办法，很难得到。原因有二：
  1. 如果把环境光理解为非常多个小的多光源，shadowmap的数量线性增加……
  2. 如果通过采样去计算环境光下的可见性，只能盲采–数量累加质量；同时上边说的split sum近似方法需要在积分域很小或者足够smooth的时候才成立，这时如果盲采visibility的话积分域就变成了半球，如果是光滑材质就不符合split sum的使用条件，因此不能在公式里提取visibility。
     「在有constant environment lighting的时候（全白或全黑），可以使用AO环境光遮蔽简单代替环境光阴影，其他情况AO不准」
• 工业界做法：只生成最大的环境光光源（如太阳）的阴影
• 其他环境光阴影的相关研究：
  1. Imperfect shadow maps：全局光照阴影的一个解决方案
  2. Light cuts：是离线渲染中，把场景中的反射无当做小的光源，然后通过归类得到近似结果（Offline中的many-light问题）
  3. real-time ray tracing(RTRT)：可能是环境阴影的终极解决方案
  4. Precomputed radiance transfer(PRT)：可以准确的得到环境阴影的结果，但要付出代价……

「通常工业游戏引擎不会只使用上边某一种方案，而是会把好几种方案大杂烩的放在一块----UE5洞穴」

三，PRT前置数学知识

1. 傅里叶级数展开：周期函数都可以代替为sin和cos的线性表达式，本质是图从时域（空间域）到频域的变换，见下左图。
   $$f(x)=\frac{A}{2}+\frac{2Acos(t\omega )}{\pi }-\frac{2Acos(3t\omega )}{3\pi }+\frac{2Acos(5t\omega )}{5\pi }-\frac{2Acos(7t\omega )}{7\pi }+\dots \dots$$
2. 基函数(Basis Functions)：一个函数可以描述为其他一系列基函数的组合，即$f(x)=\sum c_i\cdot B_i(x)$中的$B_i(x)$
3. 滤波Filtering-----去掉一系列频率上的图像内容：时域上做卷积（模糊）就相当于在频域上做乘积（通过傅里叶变化转换），公式为${\int }_{\Omega }f(x)g(y)dx$，流程见下右图。

「把两个函数相乘后积分的操作认为是滤波操作，相乘后积分的结果的频率是由两个函数更低频的一方决定的。」

四，球谐函数SH(Spherical Harmonics)

4.1 球谐函数含义

• 如同傅里叶变换可以用基函数表达周期函数，三维函数也可以用基函数表达；而球谐函数本质上就是3维球面坐标系下的二维基函数。「球面坐标系–>$r_0=f_0(\theta ,\psi )$」
• 下图就是球谐函数的可视化图。其中l表示阶数（代表频率不同），每阶有2l+1个基函数，前n阶共有$n^2$个；m表示序号，从-l到l；过取n阶球谐函数表达球面。
• 蓝色表示正数，黄色表示负数，颜色深浅表示值大小，越深越小；形状表示频率大小；
• tips：为什么不把环境贴图做二维傅里叶展开呢？----因为前边讲过了，这是对球面做展开，每个单位应该代表的面积/角度相同，即立体角。
  

4.2 SH使用–环境漫反射

• 每一个基函数都可以由 勒让德多项式(Legendre) 写出来，该多项式非常复杂，不用细看，总之就是各项表达式都已知；由$f(x)=\sum c_i\cdot B_i(x)$可以看出，只要得到$c_i$组成的i维向量$(c_1,c_2,\dots ,c_i)$(球谐系数)就可以表达函数$f(x)$
• 投影（与坐标系一模一样）：通过滤波原理计算球谐系数，方便重建原函数，公式为$$c_i={\int }_{\Omega }f(x)B_i(x)dx$$用的基函数越多重建细节越多。「推导：公式$f(x)=\sum c_i\cdot B_i(x)$两边同乘$B_i(x)$然后做积分，根据正交原理，右边剩$c_i$」
  
  「当描漫反射光照一般用到第3阶(9个基函数对应27个rgb信息)，如果使用高阶SH由于其物理含义会出现一些Artifact(美术眼中的bug)」
• 在前边讲镜面部分的lighting“预滤波环境贴图”时提到过，「diffuse其实相当于对整个环境贴图做平均，但实际中有专门的的处理方式」，这个处理方式就是利用球面谐波函数对环境贴图展开近似，并取其低阶基函数（diffuse本身就是低频信息，这里的低频指颜色变化不剧烈），这样就可以用储存好的27个向量代替采样了。正如下图所描述的。
  

4.3 SH性质

1. 正交性，每个基函数都相互正交，任意基函数向另一个的投影为0，向自己投影为1：
   $${\int }_{\Omega }{B}_i(i)\cdot B_j(i)di=1,(i=j)$$$${\int }_{\Omega }{B}_i(i)\cdot B_j(i)di=0,(i\ne j)$$
2. 旋转不变性：旋转任意基函数，该基函数还能被同阶的其他基函数线性表达出来（系数变了）。同理如果旋转光照，就相当于旋转所有基函数，而只修改原基函数的线性系数就可以得到，马上可以继续使用。这意味着一组sh可以表达任意旋转的光照。

五，基于预计算的辐射传输PRT(Precompute Radiance Transfer)

• PRT基本思路：假设shading point渲染方程里的可见性和brdf项都是不变的（只在景静物场景下成立），只有光照会旋转或更换；因此把光照分为2部分，一是lighting，二是light transport；这样lighting部分旋转不影响球谐函数使用、更换只需预计算时多计算其他光源即可，因此lighting和light transport就都可以被球谐函数表示，可以预计算了。
  $$L(o)={\int }_{\Omega }L(i)V(i)f_r(i,o)max(0,n\cdot i)di={\int }_{\Omega }L(i)\cdot T(i,o)di$$

5.1 diffuse case

5.1.1 计算方法1

diffuse 场景下brdf为常数，将 $L(i)\approx \sum l_i{B}_i(i)$ 代入 $L(o)=\rho {\int }_{\Omega }L(i)V(i)max(0,n\cdot i)di$ 得到（积分求和顺不顺序的实时渲染不在乎） :
$$L(o)\approx \rho \sum l_i{\int }_{\Omega }{B}_i(i)V(i)max(0,n\cdot i)di$$

对这个式子有两种理解方式：

1. 其中的${\int }_{\Omega }{B}_i(i)V(i)max(0,n\cdot i)di$不就是light transport在球谐函数上投影的系数吗，因此可以对这个部分做一个预计算，得到一个向量$T_i$，最终公式变为$L(o)\approx \rho \sum l_i{T}_i$，即两个向量的点乘，即light transport在SH上投影的系数 点乘 lighting在SH上投影的系数。
2. 也可以把这里的每个基函数$B_i(i)$都理解为一个光源，然后用i个环境光的结果以$l_i$为权重累加求和。如下图。
   

5.1.2 计算方法2

直接按照lighting和light transport的prt思路，在渲染方程$L(o)={\int }_{\Omega }L(i)\cdot T(i,o)di$里带入以下(1)(2)式，将lighting和light transport分别使用SH描述：
$$L({\omega }_i)\approx \sum _p{c}_p{B}_p({\omega }_i)——(1)$$$$T({\omega }_i)\approx \sum _q{c}_q{B}_q({\omega }_i)——(2)$$$$L_o(p,{\omega }_o)={\int }_{\Omega }{L}_i(p,{\omega }_i)f_r(p,{\omega }_i,{\omega }_o)cos{\theta }_{i}V(p,{\omega }_i)d{\omega }_i=\sum _p\sum _q{c}_p{c}_q{\int }_{\Omega +}{B}_p({\omega }_i)B_q({\omega }_i)d{\omega }_i$$
由SH的正交性，积分项只有0和1两种可能，并且只有在p=q的时候才有值，所以还是等于两个向量点乘，与方法1结果一致。

5.1.3 方法总结

• 两种方法都是通过用SH描述的预计算，将着色过程转化为两个向量的点乘，性能提升NN倍。对于可见性计算方式，可以从着色点向四周发射采样光线，并且是预计算（假设景物场景）。
• 不仅可以计算带阴影的环境光照，还可以在多次bounce的间接光场景下做预计算
  
• 在天空、日出等场景下也可以用预计算参与部分计算，UE4在skylight上的实现原理参考Disney原则的PBR在UE4中的应用这篇文章
• 闫老师认为prt在目前光追普及的情况下甚至会有更多表现空间，这两年会发展

5.2 glossy case

• glossy 场景下brdf就不是常数了，与入射光和出射光方向都有关系，由于参数空间不一致就不能将light transport项投影到lighting的这一个SH上了，而是一个关于一组出射方向o的SH函数：$L(o)\approx \rho \sum l_i{T}_i\to L(o)\approx \sum l_i{T}_i(o)$
• 将$T_i(o)$投影到SH上$T_i(o)\approx \sum t_{ij}{B}_j(o)$，其中$t_{ij}$是球谐矩阵，大小为：不同方向采样次数m*基函数个数n。
• 代入得到$L(o)\approx \sum l_i\sum t_{ij}{B}_j(o)=\sum (\sum l_i{t}_{ij})B_j(o)$，这样就从diffuse的两个向量点乘变成了glossy的向量与矩阵点乘。

• 总结：
  1. diffuse一般用3阶就可以描述，glossy一般用4到5阶甚至更多（科研里10阶都嫌少-_-）
  2. glossy效率比diffuse低很多，存储空间也需要更大（每个点存矩阵25*25及更多），以目前的硬件水平4阶计算可以到100帧左右（电脑）

5.3 interreflection case(互反射)/multi bounce间接光

• 对于多次反射的间接光而言，不管光线从光源发出到我们眼睛之间经历了多少diffuse或specular或glossy（介于前两者之间）的物体，他都相当于PRT中的light transport项，过程再复杂都是可以预计算的。（light transport复杂度与渲染效率无关）

5.4 总结

• PRT就是用SH来描述lighting和light transport两部分，并且将light transport项实现预计算，diffuse相当于向量点乘，glossy相当于向量和矩阵点乘的计算量，算得飞快；并且还能描述多bounce反射光和环境光阴影等场景。
• PRT也有问题，它只适合描述低频，因为对于高频部分的细节非常高阶效果也一般，见下图；另外它还要求场景不能移动、物体材质不能改变，整个场景是静态的（假设可见性不变）。

• tips：
  1. PRT关注的更多的是已知brdf的预计算，spatially varying(空间变换)的 brdf可以用一些噪声辅助计算。
  2. 预计算部分是独立的，不在光栅化里。（raytracing在现在硬件里可以在光栅化里实现了）

5.5 拓展：其他基函数

研究应用中还有很多其他基函数，比如Wavelet小波函数、Zonal Harmonics、Spherical Gaussian球面高斯(SG)、Piecewise Constant等。这里老师介绍一下Wavelet小波函数：

二维Haar小波函数是定义在图像块上的基函数（不同于SH在球面上），如下图，三四列和行都有一半灰色也就是没有定义，黑白代表正负。

• SH可以通过取前n阶来描述，Haar小波函数由于投影完成后会有大量系数接近0，因此可以选择保留系数中最大的n个来压缩。特征：非线性全频率，低频高频都可以表示
• 因为二维描述球面可能会有接缝，所以一般会用cubemap记录光照。对每面纹理来说，小波函数把纹理分为4格把高频信息留在除右上右下左下三格中，然后对左上格重复迭代这个操作，如下图

• 可以看到最后图片大部分都是灰色，正说明有大量次要信息可以舍去，实现高效压缩。「jepg就是用类似小波变换的离散余弦变换来压缩图片的」下图展示了SH了小波函数对高频信息的描述效果，可以看到小波还原程度很高。
• 可是小波函数有个严重问题：不支持光照旋转，因此每次旋转光照都得重新进行预计算。

参考资料

1. 球谐函数介绍