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向量随机变量X的数学期望也是一个向量,其各分量是原X的各个分量的数学期望。如果f(x)是d维随机变量X的n维向量函数
则其数学期望定义如下:
特别,随机变量X的均值向量 μ定义为
同样,协方差矩阵 的第ij个元素被定义为x(i)和x(j)的协方差:
== i,j=1...d
我们可以得到其扩展形式:
我们可以用向量积表示协方差矩阵:
由此看出协方差矩阵是对称矩阵,其对角线元素即为向量x的每一个分量各自的方差,是非负的;非对角线元素是x的各个分量的协方差,可能为正,也可能为负。如果各分量统计独立,那么非对角线元素为零,协方差矩阵就成为对角矩阵。