【Java基础】--Java排序
待排序的元素需要实现 Java 的 Comparable 接口，该接口有 compareTo() 方法，可以用它来判断两个元素的大小关系。
研究排序算法的成本模型时，计算的是 比较和交换的次数。
使用辅助函数 less() 和 swap() 来进行比较和交换的操作，使得代码的可读性和可移植性更好。
public abstract class Sort<T extends Comparable<T>> {
public abstract void sort(T[] nums);
protected boolean less(T v, T w) {
return v.compareTo(w) < 0;
}
protected void swap(T[] a, int i, int j) {
T t = a[i];
a[i] = a[j];
a[j] = t;
}
}
1、选择排序(Select Sort)
常规的方法：
import java.util.Arrays;
//选择排序:先定义一个记录最小元素的下标，然后循环一次后面的，找到最小的元素，最后将他放到前面排序好的序列。
public class SelectSort_02 {
public static void main(String[] args) {
int a[]={
3,44,38,5,47,15,36,26,27,2,46,4,19,50,48};
for (int i = 0; i < a.length-1; i++) {
int index=i;//标记第一个为待比较的数
for (int j = i+1; j < a.length; j++) {
//然后从后面遍历与第一个数比较
if (a[j]<a[index]) {
//如果小,就交换最小值
index=j;//保存最小元素的下标
}
}
//找到最小值后，将最小的值放到第一的位置，进行下一遍循环
int temp=a[index];
a[index]=a[i];
a[i]=temp;
}
System.out.println(Arrays.toString(a));//[2, 3, 4, 5, 15, 19, 26, 27, 36, 38, 44, 46, 47, 48, 50]
}
}
使用辅助函数：
public class Selection<T extends Comparable<T>> extends Sort<T> {
@Override
public void sort(T[] nums) {
int N = nums.length;
for (int i = 0; i < N; i++) {
int min = i;
for (int j = i + 1; j < N; j++)
if (less(nums[j], nums[min]))
min = j;
swap(nums, i, min);
}
}
}
选择排序需要 ~N2/2 次比较和 ~N 次交换，它的运行时间与输入无关，这个特点使得它对一个已经排序的数组也需要这么多的比较和交换操作。
2、冒泡排序(Bubble Sort)
通过从左到右不断交换相邻逆序的相邻元素，在一轮的交换之后，可以让未排序的元素上浮到右侧。
在一轮循环中，如果没有发生交换，就说明数组已经是有序的，此时可以直接退出。
import java.util.Arrays;
//冒泡排序
public class BubbleSort_01 {
public static void main(String[] args) {
int a[]={
3,44,38,5,47,15,36,26,27,2,46,4,19,50,48};
//记录比较次数
int count=0;
//i=0,第一轮比较
for (int i = 0; i < a.length-1; i++) {
//第一轮，两两比较
for (int j = 0; j < a.length-1-i; j++) {
if (a[j]>a[j+1]) {
int temp=a[j];
a[j]=a[j+1];
a[j+1]=temp;
}
count++;
}
}
System.out.println(Arrays.toString(a));//[2, 3, 4, 5, 15, 19, 26, 27, 36, 38, 44, 46, 47, 48, 50]
System.out.println("一共比较了："+count+"次");//一共比较了：105次
}
}
冒泡排序的优化：
import java.util.Arrays;
public class BubbleSort1_01 {
public static void main(String[] args) {
int a[]={
3,44,38,5,47,15,36,26,27,2,46,4,19,50,48};
int count=0;
for (int i = 0; i < a.length-1; i++) {
boolean flag=true;
for (int j = 0; j < a.length-1-i; j++) {
if (a[j]>a[j+1]) {
int temp=a[j];
a[j]=a[j+1];
a[j+1]=temp;
flag=false;
}
count++;
}
if (flag) {
break;
}
}
System.out.println(Arrays.toString(a));// [2, 3, 4, 5, 15, 19, 26, 27, 36, 38, 44, 46, 47, 48, 50]
System.out.println("一共比较了："+count+"次");//一共比较了：95次
}
}
辅助函数方法：
public class Bubble<T extends Comparable<T>> extends Sort<T> {
@Override
public void sort(T[] nums) {
int N = nums.length;
boolean hasSorted = false;
for (int i = 0; i < N && !hasSorted; i++) {
hasSorted = true;
for (int j = 0; j < N - i - 1; j++) {
if (less(nums[j + 1], nums[j])) {
hasSorted = false;
swap(nums, j, j + 1);
}
}
}
}
}
3、插入排序(Insert Sort)
插入排序从左到右进行，每次都将当前元素插入到左侧已经排序的数组中，使得插入之后左部数组依然有序。
第 j 元素是通过不断向左比较并交换来实现插入过程：当第 j 元素小于第 j - 1 元素，就将它们的位置交换，然后令 j指针向左移动一个位置，不断进行以上操作。
import java.util.Arrays;
//插入排序:定义一个待插入的数，再定义一个待插入数的前一个数的下标，然后拿待插入数与前面的数组一一比较，最后交换。
public class InsertSort_03 {
public static void main(String[] args) {
int a[]={
3,44,38,5,47,15,36,26,27,2,46,4,19,50,48};
for (int i = 0; i < a.length; i++) {
//长度不减1，是因为要留多一个位置方便插入数
//定义待插入的数
int insertValue=a[i];
//找到待插入数的前一个数的下标
int insertIndex=i-1;
while (insertIndex>=0 && insertValue <a[insertIndex]) {
//拿a[i]与a[i-1]的前面数组比较
a[insertIndex+1]=a[insertIndex];
insertIndex--;
}
a[insertIndex+1]=insertValue;
}
System.out.println(Arrays.toString(a));//[2, 3, 4, 5, 15, 19, 26, 27, 36, 38, 44, 46, 47, 48, 50]
}
}
辅助函数方法：
public class Insertion<T extends Comparable<T>> extends Sort<T> {
@Override
public void sort(T[] nums) {
int N = nums.length;
for (int i = 1; i < N; i++)
for (int j = i; j > 0 && less(nums[j], nums[j - 1]); j--)
swap(nums, j, j - 1);
}
}
对于数组 {3, 5, 2, 4, 1}，它具有以下逆序：(3, 2), (3, 1), (5, 2), (5, 4), (5, 1), (2, 1), (4, 1)，插入排序每次只能交换相
邻元素，令逆序数量减少 1，因此插入排序需要交换的次数为逆序数量。
插入排序的复杂度取决于数组的初始顺序，如果数组已经部分有序了，逆序较少，那么插入排序会很快。
- 平均情况下插入排序需要 ~N2/4 比较以及 ~N2/4 次交换；
- 最坏的情况下需要 ~N2/2 比较以及 ~N2/2次交换，最坏的情况是数组是倒序的；
- 最好的情况下需要 N-1 次比较和 0 次交换，最好的情况就是数组已经有序了。
4、希尔排序(Shell Sort)
对于大规模的数组，插入排序很慢，因为它只能交换相邻的元素，每次只能将逆序数量减少 1。
希尔排序的出现就是为了改进插入排序的这种局限性，它通过交换不相邻的元素，每次可以将逆序数量减少大于1。
希尔排序使用插入排序对间隔 h 的序列进行排序。通过不断减小 h，最后令 h=1，就可以使得整个数组是有序的。
public class Shell<T extends Comparable<T>> extends Sort<T> {
@Override
public void sort(T[] nums) {
int N = nums.length;
int h = 1;
while (h < N / 3)
h = 3 * h + 1; // 1, 4, 13, 40, ...
while (h >= 1) {
for (int i = h; i < N; i++)
for (int j = i; j >= h && less(nums[j], nums[j - h]); j -= h)
swap(nums, j, j - h);
h = h / 3;
}
}
}
希尔排序的运行时间达不到平方级别，使用递增序列 1, 4, 13, 40, … 的希尔排序所需要的比较次数不会超过 N 的若干倍乘于递增序列的长度。后面介绍的高级排序算法只会比希尔排序快两倍左右。
常规代码：
import java.util.Arrays;
//希尔排序：插入排序的升级
public class ShellSort_04 {
public static void main(String[] args) {
int a[]={
3,44,38,5,47,15,36,26,27,2,46,4,19,50,48};
int count=0;//比较次数
for (int gap=a.length / 2; gap > 0; gap = gap / 2) {
//将整个数组分为若干个子数组
for (int i = gap; i < a.length; i++) {
//遍历各组的元素
for (int j = i - gap; j>=0; j=j-gap) {
//交换元素
if (a[j]>a[j+gap]) {
int temp=a[j];
a[j]=a[j+gap];
a[j+gap]=temp;
count++;
}
}
}
}
System.out.println(count);//16
System.out.println(Arrays.toString(a));//[2, 3, 4, 5, 15, 19, 26, 27, 36, 38, 44, 46, 47, 48, 50]
}
}
5、归并排序(Merge Sort)
归并排序的思想是将数组分成两部分，分别进行排序，然后归并起来。
常规代码：
import java.util.Arrays;
//归并排序
public class MergeSort_06 {
public static void main(String[] args) {
int a[]={
3,44,38,5,47,15,36,26,27,2,46,4,19,50,48};
//int a[]={5,2,4,7,1,3,2,2};
int temp[]=new int[a.length];
mergesort(a,0,a.length-1,temp);
System.out.println(Arrays.toString(a));
}
private static void mergesort(int[] a, int left, int right, int[] temp) {
//分解
if (left<right) {
int mid=(left+right)/2;
//向左递归进行分解
mergesort(a, left, mid, temp);
//向右递归进行分解
mergesort(a, mid+1, right, temp);
//每分解一次便合并一次
merge(a,left,right,mid,temp);
}
}
/**
*
* @param a 待排序的数组
* @param left 左边有序序列的初始索引
* @param right 右边有序序列的初始索引
* @param mid 中间索引
* @param temp 做中转的数组
*/
private static void merge(int[] a, int left, int right, int mid, int[] temp) {
int i=left; //初始i，左边有序序列的初始索引
int j=mid+1;//初始化j，右边有序序列的初始索引（右边有序序列的初始位置即中间位置的后一位置）
int t=0;//指向temp数组的当前索引，初始为0
//先把左右两边的数据（已经有序）按规则填充到temp数组
//直到左右两边的有序序列，有一边处理完成为止
while (i<=mid && j<=right) {
//如果左边有序序列的当前元素小于或等于右边的有序序列的当前元素，就将左边的元素填充到temp数组中
if (a[i]<=a[j]) {
temp[t]=a[i];
t++;//索引向后移
i++;//i后移
}else {
//反之，将右边有序序列的当前元素填充到temp数组中
temp[t]=a[j];
t++;//索引向后移
j++;//j后移
}
}
//把剩余数据的一边的元素填充到temp中
while (i<=mid) {
//此时说明左边序列还有剩余元素
//全部填充到temp数组
temp[t]=a[i];
t++;
i++;
}
while (j<=right) {
//此时说明左边序列还有剩余元素
//全部填充到temp数组
temp[t]=a[j];
t++;
j++;
}
//将temp数组的元素复制到原数组
t=0;
int tempLeft=left;
while (tempLeft<=right) {
a[tempLeft]=temp[t];
t++;
tempLeft++;
}
}
}
1. 归并方法
归并方法将数组中两个已经排序的部分归并成一个。
public abstract class MergeSort<T extends Comparable<T>> extends Sort<T> {
protected T[] aux;
protected void merge(T[] nums, int l, int m, int h) {
int i = l, j = m + 1;
for (int k = l; k <= h; k++)
aux[k] = nums[k]; // 将数据复制到辅助数组
for (int k = l; k <= h; k++) {
if (i > m)
nums[k] = aux[j++];
else if (j > h)
nums[k] = aux[i++];
else if (aux[i].compareTo(nums[j]) <= 0)
nums[k] = aux[i++]; // 先进行这一步，保证稳定性
else
nums[k] = aux[j++];
}
}
}
2. 自顶向下归并排序
public class Up2DownMergeSort<T extends Comparable<T>> extends MergeSort<T> {
@Override
public void sort(T[] nums) {
aux = (T[]) new Comparable[nums.length];
sort(nums, 0, nums.length - 1);
} p
rivate void sort(T[] nums, int l, int h) {
if (h <= l)
return;
int mid = l + (h - l) / 2;
sort(nums, l, mid);
sort(nums, mid + 1, h);
merge(nums, l, mid, h);
}
}
因为每次都将问题对半分成两个子问题，而这种对半分的算法复杂度一般为 O(NlogN)，因此该归并排序方法的时间复杂度也为 O(NlogN)。
3. 自底向上归并排序
先归并那些微型数组，然后成对归并得到的微型数组。
public class Down2UpMergeSort<T extends Comparable<T>> extends MergeSort<T> {
@Override
public void sort(T[] nums) {
int N = nums.length;
aux = (T[]) new Comparable[N];
for (int sz = 1; sz < N; sz += sz)
for (int lo = 0; lo < N - sz; lo += sz + sz)
merge(nums, lo, lo + sz - 1, Math.min(lo + sz + sz - 1, N - 1));
}
}
6、快速排序(Quick Sort)
1. 基本算法
- 归并排序将数组分为两个子数组分别排序，并将有序的子数组归并使得整个数组排序；
- 快速排序通过一个切分元素将数组分为两个子数组，左子数组小于等于切分元素，右子数组大于等于切分元素，将这两个子数组排序也就将整个数组排序了。
public class QuickSort<T extends Comparable<T>> extends Sort<T> {
@Override
public void sort(T[] nums) {
shuffle(nums);
sort(nums, 0, nums.length - 1);
}
private void sort(T[] nums, int l, int h) {
if (h <= l)
return;
int j = partition(nums, l, h);
sort(nums, l, j - 1);
sort(nums, j + 1, h);
}
private void shuffle(T[] nums) {
List<Comparable> list = Arrays.asList(nums);
Collections.shuffle(list);
list.toArray(nums);
}
}
2. 切分
取 a[lo] 作为切分元素，然后从数组的左端向右扫描直到找到第一个大于等于它的元素，再从数组的右端向左扫描，找到第一个小于等于它的元素，交换这两个元素，并不断进行这个过程，就可以保证左指针 i 的左侧元素都不大于切分元素，右指针 j 的右侧元素都不小于切分元素。当两个指针相遇时，将切分元素 a[lo] 和 a[j] 交换位置。
private int partition(T[] nums, int l, int h) {
int i = l, j = h + 1;
T v = nums[l];
while (true) {
while (less(nums[++i], v) && i != h) ;
while (less(v, nums[--j]) && j != l) ;
if (i >= j)
break;
swap(nums, i, j);
}
swap(nums, l, j);
return j;
}
3. 性能分析
快速排序是原地排序，不需要辅助数组，但是递归调用需要辅助栈。
快速排序最好的情况下是每次都正好能将数组对半分，这样递归调用次数才是最少的。这种情况下比较次数为CN=2CN/2+N，复杂度为 O(NlogN)。
最坏的情况下，第一次从最小的元素切分，第二次从第二小的元素切分，如此这般。因此最坏的情况下需要比较N2/2。为了防止数组最开始就是有序的，在进行快速排序时需要随机打乱数组。
4. 算法改进
（一）切换到插入排序
因为快速排序在小数组中也会递归调用自己，对于小数组，插入排序比快速排序的性能更好，因此在小数组中可以
切换到插入排序。
（二）三数取中
最好的情况下是每次都能取数组的中位数作为切分元素，但是计算中位数的代价很高。人们发现取 3 个元素并将大
小居中的元素作为切分元素的效果最好。
（三）三向切分
对于有大量重复元素的数组，可以将数组切分为三部分，分别对应小于、等于和大于切分元素。三向切分快速排序对于只有若干不同主键的随机数组可以在线性时间内完成排序。
public class ThreeWayQuickSort<T extends Comparable<T>> extends QuickSort<T> {
@Override
protected void sort(T[] nums, int l, int h) {
if (h <= l)
return;
int lt = l, i = l + 1, gt = h;
T v = nums[l];
while (i <= gt) {
int cmp = nums[i].compareTo(v);
if (cmp < 0)
swap(nums, lt++, i++);
else if (cmp > 0)
swap(nums, i, gt--);
else
i++;
}
sort(nums, l, lt - 1);
sort(nums, gt + 1, h);
}
}
5. 基于切分的快速选择算法
快速排序的 partition() 方法，会返回一个整数 j 使得 a[l…j-1] 小于等于 a[j]，且 a[j+1…h] 大于等于 a[j]，此时 a[j]就是数组的第 j 大元素。
可以利用这个特性找出数组的第 k 个元素。
public T select(T[] nums, int k) {
int l = 0, h = nums.length - 1;
while (h > l) {
int j = partition(nums, l, h);
if (j == k)
return nums[k];
else if (j > k)
h = j - 1;
else
l = j + 1;
}
return nums[k];
}
该算法是线性级别的。因为每次能将数组二分，那么比较的总次数为 (N+N/2+N/4+…)，直到找到第 k 个元素，这个和显然小于 2N。
7、堆排序(Heap Sort)
- 第一步：构建初始堆buildHeap， 使用sink(arr,i, length)调整堆顶的值;
- 第二步：将堆顶元素下沉 目的是将最大的元素浮到堆顶来，然后使用sink(arr, 0,length)调整;
1. 堆
堆的某个节点的值总是大于等于子节点的值，并且堆是一颗完全二叉树。
堆可以用数组来表示，因为堆是完全二叉树，而完全二叉树很容易就存储在数组中。位置 k 的节点的父节点位置为k/2，而它的两个子节点的位置分别为 2k 和 2k+1。这里不使用数组索引为 0 的位置，是为了更清晰地描述节点的位置关系。
public class Heap<T extends Comparable<T>> {
private T[] heap;
private int N = 0;
public Heap(int maxN) {
this.heap = (T[]) new Comparable[maxN + 1];
}
public boolean isEmpty() {
return N == 0;
}
public int size() {
return N;
}
private boolean less(int i, int j) {
return heap[i].compareTo(heap[j]) < 0;
}
private void swap(int i, int j) {
T t = heap[i];
heap[i] = heap[j];
heap[j] = t;
}
}
2. 上浮和下沉
在堆中，当一个节点比父节点大，那么需要交换这个两个节点。交换后还可能比它新的父节点大，因此需要不断地进行比较和交换操作，把这种操作称为上浮。
private void swim(int k) {
while (k > 1 && less(k / 2, k)) {
swap(k / 2, k);
k = k / 2;
}
}
类似地，当一个节点比子节点来得小，也需要不断地向下进行比较和交换操作，把这种操作称为下沉。一个节点如果有两个子节点，应当与两个子节点中最大那么节点进行交换。
private void sink(int k) {
while (2 * k <= N) {
int j = 2 * k;
if (j < N && less(j, j + 1))
j++;
if (!less(k, j))
break;
swap(k, j);
k = j;
}
}
3. 插入元素
将新元素放到数组末尾，然后上浮到合适的位置。
public void insert(Comparable v) {
heap[++N] = v;
swim(N);
}
4. 删除最大元素
从数组顶端删除最大的元素，并将数组的最后一个元素放到顶端，并让这个元素下沉到合适的位置。
public T delMax() {
T max = heap[1];
swap(1, N--);
heap[N + 1] = null;
sink(1);
return max;
}
5. 堆排序
由于堆可以很容易得到最大的元素并删除它，不断地进行这种操作可以得到一个递减序列。如果把最大元素和当前堆中数组的最后一个元素交换位置，并且不删除它，那么就可以得到一个从尾到头的递减序列，从正向来看就是一个递增序列。因此很容易使用堆来进行排序。并且堆排序是原地排序，不占用额外空间。
（一）构建堆
无序数组建立堆最直接的方法是从左到右遍历数组，然后进行上浮操作。一个更高效的方法是从右至左进行下沉操作，如果一个节点的两个节点都已经是堆有序，那么进行下沉操作可以使得这个节点为根节点的堆有序。叶子节点不需要进行下沉操作，可以忽略叶子节点的元素，因此只需要遍历一半的元素即可。
（二）交换堆顶元素与最后一个元素
交换之后需要进行下沉操作维持堆的有序状态。
public class HeapSort<T extends Comparable<T>> extends Sort<T> {
/**
* 数组第 0 个位置不能有元素
*/
@Override
public void sort(T[] nums) {
int N = nums.length - 1;
for (int k = N / 2; k >= 1; k--)
sink(nums, k, N);
while (N > 1) {
swap(nums, 1, N--);
sink(nums, 1, N);
}
}
private void sink(T[] nums, int k, int N) {
while (2 * k <= N) {
int j = 2 * k;
if (j < N && less(nums, j, j + 1))
j++;
if (!less(nums, k, j))
break;
swap(nums, k, j);
k = j;
}
}
private boolean less(T[] nums, int i, int j) {
return nums[i].compareTo(nums[j]) < 0;
}
}
6. 分析
- 一个堆的高度为 logN，因此在堆中插入元素和删除最大元素的复杂度都为 logN。
- 对于堆排序，由于要对 N 个节点进行下沉操作，因此复杂度为 NlogN。
- 堆排序时一种原地排序，没有利用额外的空间。
- 现代操作系统很少使用堆排序，因为它无法利用局部性原理进行缓存，也就是数组元素很少和相邻的元素进行比较。
小结
1. 排序算法的比较
快速排序是最快的通用排序算法，它的内循环的指令很少，而且它还能利用缓存，因为它总是顺序地访问数据。它的运行时间近似为 ~cNlogN，这里的 c 比其他线性对数级别的排序算法都要小。使用三向切分快速排序，实际应用中可能出现的某些分布的输入能够达到线性级别，而其它排序算法仍然需要线性对数时间。
2. Java 的排序算法实现
Java 主要排序方法为 java.util.Arrays.sort()，对于原始数据类型使用三向切分的快速排序，对于引用类型使用归并排序。
3、其他排序
基数排序：基数排序是用空间换时间的经典算法,当数据足够多时，达到几千万级别时内存空间可能不够用了，发生堆内存溢出。
计数排序 (Count Sort)
桶排序(Bucket Sort)：桶排序可以看成是计数排序的升级版，它将要排的数据分到多个有序的桶里，每个桶里的数据再单独排序，再把每个桶的数据依次取出，即可完成排序。
时间复杂度如下：
