目录
1.回溯法
- 回溯法也是设计递归过程的一种重要方法，求解过程实质上是先序遍历一棵“状态树”的过程。
- 回溯法的应用
- 九宫格问题
- 八皇后问题
- 数独问题
- 求集合的幂集问题
2.集合的幂集本质问题
提示：如果读者学习过《算法设计与分析》的话，那么应该很清楚，其中有一类问题是可以使用分治法进行求解的，那什么是分治法呢？
- 分治法：就是将原问题划分若干个性质相同的小问题，并对划分的子问题进行求解。
- 分治过程：
- 将一个问题划分为同一类型的若干子问题，子问题最好规模相同。
- 对这些子问题求解。
- 合并这些子问题的解，以得到原始问题的答案。
3.集合的幂集
（1）集合
提示：集合的幂集就是集合A的所有子集所组成的集合。
题目：要求求n个元素的集合的幂集！
假设这里有三个元素：A={1,2,3}，那么集合A的幂集？
ρ（A）={ {1，2,3}，{1,2}，{1,3}，{1}，{2,3}，{2}，{3}，Φ}
如下图所示：
（2）求解集合的幂集
提示：求解ρ（A）集合的过程可以看成是依次对集合A中元素进行“取”或者“舍（弃）”的过程，通过上面也可以看到是一棵二叉树来表示幂集元素的状态变化状况。
- 过程：
- 树中的根节点表示幂集元素的初始状态（为空集）；
- 叶子节点表示它的终结状态中幂集ρ（A）的8个元素；
- 第i层（i=1,2,3,...,n）层的分支节点，则表示已对集合A中前i-1个元素进行了取/舍处理的当前状态（其中左分支表示“取”，右分支表示“舍”）；
- 将上述问题求解集合的幂集转换为先序遍历这棵状态树的过程。
（3）算法描述
void Powerset(int i,int n){
//初始调用：Powerset(1,n)
if(i>n){
输出幂集的其中一个元素
}else{
取第i个元素
Powerset(i+1,n);
舍第i个元素
Powerset(i+1,n);
}
} 提示：上述的关键问题是怎么表示“取”和“舍”的过程。
疑问：为什么说求幂集元素的过程是先序遍历状态树的过程呢？
解释：首先要清楚先序遍历的过程是先根后左再右，这样的一个遍历过程；那么在该代码中怎么体现这个先序遍历的过程的呢？从上面画出的集合的幂集二叉树图，可以看到，其实就是通过“取”或者“舍”这个方法来实现的，代码中的auxset[i-1]=set[i-1]就是在进入“左子树”的过程，也就是“取”的过程；而auxset[i-1]=0,则是在进入“右子树”的过程，也就是在“舍”的过程。如果读者还是感觉有点抽象，可以在纸上模拟一下这个过程就能深有体会了。
（4）算法实现
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#define maxn 10
//使用数组set表示集合
int set[maxn];
//使用辅助数组auxset表示取和舍的过程
int auxset[maxn];
void init(int n){
for(int i=0;i<n;i++){
set[i]=0;
auxset[i]=0;
}
}
void Powerset(int i,int n){
if(i>n){
for(int j=0;j<i-1;j++){
printf("%d ",auxset[j]);
}
printf("\n");
}else{
auxset[i-1]=set[i-1];
Powerset(i+1,n);
auxset[i-1]=0;
Powerset(i+1,n);
}
}
int main(){
int n;
printf("请输入集合的元素个数: ");
scanf("%d",&n);
init(n);
printf("请输入元素: ");
for(int i=0;i<n;i++){
scanf("%d",&set[i]);
}
Powerset(1,n);
return 0;
}
提示：我这里输出0的原因主要是因为更能表达空集。
（5）算法拓展
- 假设以线性表表示集合，则求解后的算法如下所示
void GetPowerset(int i,List A,List B){
//线性表A表示集合，线性表B表示幂集ρ（A）的一个元素
//局部变量K为进入函数时B的当前长度，第一次调用本函数时，B为空表，i=1
if(i>ListLength(A)){
Output(B);
}else{
GetElem(A,i,x);
int k=ListLength(B);
ListInsert(B,k+1,x);
GetPowerset(i+1,A,B);
ListDelete(B,k+1,x);
GetPowerset(i+1,A,B);
}
}参考书籍《数据结构》严蔚敏