笔记总结自:高等代数-丘维声-线性映射部分的最后一小节
线性映射与线性函数
设 V V V和 V ′ V' V′是域 F F F上的两个线性空间, A A A是 V V V到 V ′ V' V′的一个映射,若 A A A满足:
A ( α + β ) = A ( α ) + A ( β ) , ∀ α , β ∈ V A(\alpha+\beta)=A(\alpha)+A(\beta), \forall\alpha,\beta\in V A(α+β)=A(α)+A(β),∀α,β∈V(保持加法运算)
A ( k α ) = k A ( α ) , ∀ α ∈ V , k ∈ F A(k\alpha)=kA(\alpha), \forall\alpha\in V,k\in F A(kα)=kA(α),∀α∈V,k∈F(保持纯量乘法运算)
则称 A A A是 V V V到 V ′ V' V′的一个线性映射
域 F F F上的线性空间 V V V到 F F F的线性映射称为 V V V上的线性函数
线性空间的定义:
F F F是一个域, V V V是一个非空集合。对于任意的 α , β , γ ∈ V \alpha,\beta,\gamma\in V α,β,γ∈V,任意的 k , l ∈ F k,l\in F k,l∈F,有:
- α + β = β + α \alpha+\beta=\beta+\alpha α+β=β+α(加法交换律)
- ( α + β ) + γ = α + ( β + γ ) (\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma) (α+β)+γ=α+(β+γ)(加法结合律)
- V V V中有一个零元 0 0 0, ∀ α ∈ V , α + 0 = α \forall\alpha\in V, \alpha+0=\alpha ∀α∈V,α+0=α
- 任意 α ∈ V \alpha\in V α∈V,存在 α ′ ∈ V \alpha'\in V α′∈V,使得 α + α ′ = 0 \alpha+\alpha'=0 α+α′=0。具有这个性质的元素 α ′ \alpha' α′称为 α \alpha α的负元
- 1 α = α 1\alpha=\alpha 1α=α, 1 1 1是域 F F F中的乘法单位元
- ( k l ) α = k ( l α ) (kl)\alpha=k(l\alpha) (kl)α=k(lα)
- ( k + l ) α = k α + l α (k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha (k+l)α=kα+lα
- k ( α + β ) = k α + k β k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta k(α+β)=kα+kβ
则称 V V V是域 F F F上的一个线性空间
线性函数在一组基下的表达式
设 V V V是域 F F F上的线性空间,记 V V V的维度 d i m V = n dim\space V=n dim V=n
在 V V V中取一个基 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn,则 V V V中任一向量 α \alpha α可用这组基线性表述,记为:
α = x 1 α 1 + ⋯ + x n α n \alpha=x_1\alpha_1+\cdots+x_n\alpha_n α=x1α1+⋯+xnαn
其中 ( x 1 , ⋯ , x n ) (x_1,\cdots,x_n) (x1,⋯,xn)是向量 α \alpha α在这组基下的坐标
设 f f f是 V V V上的一个线性函数,由定义知 f f f保持加法和纯量乘法,因此:
f ( α ) = f ( x 1 α 1 + ⋯ + x n α n ) = f ( x 1 α 1 ) + ⋯ + f ( x n α n ) = x 1 f ( α 1 ) + ⋯ + x n f ( α n ) \begin{aligned} f(\alpha) &= f(x_1\alpha_1+\cdots+x_n\alpha_n) \\ &= f(x_1\alpha_1)+\cdots+f(x_n\alpha_n) \\ &=x_1f(\alpha_1)+\cdots+x_nf(\alpha_n) \end{aligned} f(α)=f(x1α1+⋯+xnαn)=f(x1α1)+⋯+f(xnαn)=x1f(α1)+⋯+xnf(αn)
我们把式子 f ( α ) = x 1 f ( α 1 ) + ⋯ + x n f ( α n ) f(\alpha)=x_{1}f(\alpha_1)+\cdots+x_n{f}(\alpha_n) f(α)=x1f(α1)+⋯+xnf(αn)称为 f f f在基 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn下的表达式
任给域 F F F中 n n n个元素 a 1 , ⋯ , a n a_1,\cdots,a_n a1,⋯,an,存在唯一的线性函数 f f f使得 f ( α i ) = a i f(\alpha_i)=a_i f(αi)=ai,其中 i = 1 , 2 , ⋯ , n i = 1,2,\cdots,n i=1,2,⋯,n
唯一性的证明见下述定理:
定理:
设 V V V和 V ′ V' V′都是域 F F F上的线性空间, V V V的维数是 n n n
V V V中取一个基 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn, V ′ V' V′中任意取定 n n n个向量 γ 1 , γ 2 , ⋯ , γ n \gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_n γ1,γ2,⋯,γn( γ 1 , γ 2 , ⋯ , γ n \gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_n γ1,γ2,⋯,γn中可以有相同的向量)
令 A A A是 V V V到 V ′ V' V′的一个对应法则,它把 V V V中的向量 α = ∑ i = 1 n x i α i \alpha=\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\alpha_i α=i=1∑nxiαi对应到 V ′ V' V′中的向量 ∑ i = 1 n x i γ i \sum\limits_{i=1}^{n}x_i\gamma_i i=1∑nxiγi
则有结论: A A A是 V V V到 V ′ V' V′的一个线性映射,且 A ( α i ) = γ i A(\alpha_i)=\gamma_i A(αi)=γi,其中 i = 1 , 2 , ⋯ , n i = 1,2,\cdots,n i=1,2,⋯,n
证明:
由于 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn是 V V V的一个基,所以 α \alpha α表示成 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn的线性组合的方式唯一
从而对于 V V V中的每一个元素 α \alpha α, V ′ V' V′中总有唯一的一个元素与它对应
因此 A A A是 V V V到 V ′ V' V′的一个映射
在 V V V中任取两个向量 α = ∑ i = 1 n x i α i \alpha=\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\alpha_i α=i=1∑nxiαi, β = ∑ i = 1 n y i α i \beta=\sum\limits_{i=1}^{n}y_i\alpha_i β=i=1∑nyiαi,任取 k ∈ F k\in F k∈F,有:
A ( α + β ) = A ( ∑ i = 1 n ( x i + y i ) α i ) = ∑ i = 1 n ( x i + y i ) γ i = ∑ i = 1 n x i γ i + ∑ i = 1 n y i γ i = A ( α ) + A ( β ) A(\alpha+\beta)=A(\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i+y_i)\alpha_i)=\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i+y_i)\gamma_i=\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\gamma_i+\sum\limits_{i=1}^{n}y_i\gamma_i=A(\alpha)+A(\beta) A(α+β)=A(i=1∑n(xi+yi)αi)=i=1∑n(xi+yi)γi=i=1∑nxiγi+i=1∑nyiγi=A(α)+A(β)
A ( k α ) = A ( ∑ i = 1 n ( k x i ) α i ) = ∑ i = 1 n ( k x i ) γ i = k ∑ i = 1 n x i γ i = k A ( α ) A(k\alpha)=A(\sum\limits_{i=1}^{n}(kx_i)\alpha_i)=\sum\limits_{i=1}^{n}(kx_i)\gamma_i=k\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\gamma_i=kA(\alpha) A(kα)=A(i=1∑n(kxi)αi)=i=1∑n(kxi)γi=ki=1∑nxiγi=kA(α)
因此 A A A是 V V V到 V ′ V' V′的一个线性映射
显然有结论: A ( α i ) = A ( 0 α 1 + . . . + 0 α i − 1 + 1 α i + 0 α i + 1 + ⋯ + 0 α n ) = γ i A(\alpha_i)=A(0\alpha_1+...+0\alpha_{i-1}+1\alpha_i+0\alpha_{i+1}+\cdots+0\alpha_n)=\gamma_i A(αi)=A(0α1+...+0αi−1+1αi+0αi+1+⋯+0αn)=γi,其中 i = 1 , 2 , ⋯ , n i = 1,2,\cdots,n i=1,2,⋯,n
假设存在 V V V到 V ′ V' V′的一个线性映射 B B B满足: B ( α i ) = γ i B(\alpha_i)=\gamma_i B(αi)=γi,其中 i = 1 , 2 , ⋯ , n i = 1,2,\cdots,n i=1,2,⋯,n
则 B ( α i ) = A ( α i ) B(\alpha_i)=A(\alpha_i) B(αi)=A(αi),所以 ∀ α ∈ V , B ( α ) = x 1 B ( α 1 ) + ⋯ + x n B ( α n ) = x 1 A ( α 1 ) + ⋯ + x n A ( α n ) = A ( α ) \forall\alpha\in V, B(\alpha)=x_{1}B(\alpha_1)+\cdots+x_{n}B(\alpha_n)=x_{1}A(\alpha_1)+\cdots+x_{n}A(\alpha_n)=A(\alpha) ∀α∈V,B(α)=x1B(α1)+⋯+xnB(αn)=x1A(α1)+⋯+xnA(αn)=A(α)
从而两个映射的对应法则相同,进而证得 B = A B=A B=A
于是得到结论:满足且 A ( α i ) = γ i ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) A(\alpha_i)=\gamma_i(i = 1,2,\cdots,n) A(αi)=γi(i=1,2,⋯,n)的线性映射是唯一的
根据 f f f在基 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn下的表达式 f ( α ) = x 1 f ( α 1 ) + ⋯ + x n f ( α n ) f(\alpha)=x_1f(\alpha_1)+\cdots+x_nf(\alpha_n) f(α)=x1f(α1)+⋯+xnf(αn)可以得到:
f ( α ) = a 1 x 1 + ⋯ + a n x n f(\alpha)=a_{1}x_{1}+\cdots+a_{n}x_{n} f(α)=a1x1+⋯+anxn
对偶空间
容易验证,线性映射的加法和纯量乘法满足线性空间定义中的8条运算法则(见上文),因此域 F F F上线性空间 V V V到 V ′ V' V′的所有线性映射组成的集合成为域 F F F的一个线性空间,记作 H o m ( V , V ′ ) Hom(V,V') Hom(V,V′)
H o m ( V , F ) Hom(V,F) Hom(V,F)称为 V V V上的线性函数空间
域 F F F可以看作域 F F F上的一个一维线性空间,基为 F F F的单位元 1 1 1,该线性空间中的所有元素可以由基线性表出
d i m F = 1 dim\space F=1 dim F=1
以下仅考虑 V V V是有限维空间的情况,设 V V V的维度 d i m V = n dim\space V=n dim V=n
把 H o m ( V , F ) Hom(V,F) Hom(V,F)记成 V ∗ V^* V∗,我们称 V ∗ V^* V∗是 V V V的对偶空间
V ∗ V^* V∗的维数 d i m V ∗ = d i m H o m ( V , F ) = ( d i m V ) ( d i m F ) = d i m V = n dim\space V^*=dim\space Hom(V,F)=(dim\space V)(dim\space F)=dim\space V=n dim V∗=dim Hom(V,F)=(dim V)(dim F)=dim V=n
可以证明:
域 F F F上 n n n维线性空间 V V V到 s s s维线性空间 V ′ V' V′的每一个线性映射都可以用一个 s × n s\times n s×n矩阵来表示
记域 F F F上所有 s × n s\times n s×n矩阵组成的集合为 M s × n ( F ) M_{s\times n}(F) Ms×n(F), H o m ( V , V ′ ) Hom(V,V') Hom(V,V′)和 M s × n ( F ) M_{s\times n}(F) Ms×n(F)都是域 F F F上的一个线性空间,且 H o m ( V , V ′ ) Hom(V,V') Hom(V,V′)同构于 M s × n ( F ) M_{s\times n}(F) Ms×n(F)
于是有:
d i m H o m ( V , V ′ ) = d i m M s × n ( F ) = s n = ( d i m V ) ( d i m V ′ ) dim\space Hom(V,V')=dim\space M_{s\times n}(F)=sn=(dim\space V)(dim\space V') dim Hom(V,V′)=dim Ms×n(F)=sn=(dim V)(dim V′)
因此 V ∗ V^* V∗与 V V V同构
定理:同一域上的两个有限维线性空间同构 ⇔ {\Large\space\Lrarr\space} ⇔ 它们的维数相同
同构的定义:
设 V V V与 V ′ V' V′都是域 F F F上的线性空间,如果有 V V V到 V ′ V' V′的一个双射 σ \sigma σ,使得对于任意 α , β ∈ V , k ∈ F \alpha,\beta\in V,k\in F α,β∈V,k∈F,有:
σ ( α + β ) = σ ( α ) + σ ( β ) \sigma(\alpha+\beta)=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta) σ(α+β)=σ(α)+σ(β)
σ ( k α ) = k σ ( α ) \sigma(k\alpha)=k\sigma(\alpha) σ(kα)=kσ(α)
那么称 σ \sigma σ是 V V V到 V ′ V' V′的一个同构映射(简称为同构)
如果 V V V到 V ′ V' V′有一个同构映射,则称 V V V与 V ′ V' V′是同构的,记作 V ≅ V ′ V\cong V' V≅V′
定理的证明:
必要性:
设 V V V与 V ′ V' V′都是域 F F F上的有限维线性空间, σ \sigma σ是它们之间的同构映射
引理1(本引理中为线性空间里的元素添加小箭头,以便区分域 F F F中的元素): σ ( 0 ⃗ ) \sigma(\vec{0}) σ(0)是 V ′ V' V′的零元 0 ⃗ ′ \vec{0}' 0′
引理1证明: 0 α ⃗ = 0 ⃗ ⇒ σ ( 0 ⃗ ) = σ ( 0 α ⃗ ) = 0 σ ( α ⃗ ) = 0 ⃗ ′ 0\vec{\alpha}=\vec{0} {\Large\space\Rarr\space} \sigma(\vec{0})=\sigma(0\vec{\alpha})=0\sigma(\vec{\alpha})=\vec{0}' 0α=0 ⇒ σ(0)=σ(0α)=0σ(α)=0′
引理2: V V V中的向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn线性无关当且仅当 σ ( α 1 ) , σ ( α 2 ) , ⋯ , σ ( α n ) \sigma(\alpha_1),\sigma(\alpha_2),\cdots,\sigma(\alpha_n) σ(α1),σ(α2),⋯,σ(αn)线性无关
引理2证明:因为 σ \sigma σ是 V V V到 V ′ V' V′的一个单射,所以如果 σ ( α ) = σ ( β ) \sigma(\alpha)=\sigma(\beta) σ(α)=σ(β),则 α = β \alpha=\beta α=β,于是根据引理1有:
k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k s α s = 0 ⇔ σ ( k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k s α s ) = σ ( 0 ) ⇔ k 1 σ ( α 1 ) + k 2 σ ( α 2 ) + ⋯ + k s σ ( α s ) = 0 ′ k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0 {\Large\space\Lrarr\space} \sigma(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s)=\sigma(0) {\Large\space\Lrarr\space} k_1\sigma(\alpha_1)+k_2\sigma(\alpha_2)+\cdots+k_s\sigma(\alpha_s)=0' k1α1+k2α2+⋯+ksαs=0 ⇔ σ(k1α1+k2α2+⋯+ksαs)=σ(0) ⇔ k1σ(α1)+k2σ(α2)+⋯+ksσ(αs)=0′
引理3:如果 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn是 V V V的一个基,则 σ ( α 1 ) , σ ( α 2 ) , ⋯ , σ ( α n ) \sigma(\alpha_1),\sigma(\alpha_2),\cdots,\sigma(\alpha_n) σ(α1),σ(α2),⋯,σ(αn)是 V ′ V' V′的一个基
引理3证明:根据引理2, σ ( α 1 ) , σ ( α 2 ) , ⋯ , σ ( α n ) \sigma(\alpha_1),\sigma(\alpha_2),\cdots,\sigma(\alpha_n) σ(α1),σ(α2),⋯,σ(αn)是 V ′ V' V′的一个线性无关向量组。任取 β ∈ V ′ \beta\in V' β∈V′,由于 σ \sigma σ是 V V V到 V ′ V' V′的一个单射,因此存在 α ∈ V \alpha\in V α∈V,使得 σ ( α ) = β \sigma(\alpha)=\beta σ(α)=β。设 α = x 1 α 1 + x 2 α 2 + ⋯ + x n α n \alpha=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_n α=x1α1+x2α2+⋯+xnαn,则 β = σ ( α ) = x 1 σ ( α 1 ) + x 2 σ ( α 2 ) + ⋯ + x n σ ( α n ) \beta=\sigma(\alpha)=x_1\sigma(\alpha_1)+x_2\sigma(\alpha_2)+\cdots+x_n\sigma(\alpha_n) β=σ(α)=x1σ(α1)+x2σ(α2)+⋯+xnσ(αn)。因此 σ ( α 1 ) , σ ( α 2 ) , ⋯ , σ ( α n ) \sigma(\alpha_1),\sigma(\alpha_2),\cdots,\sigma(\alpha_n) σ(α1),σ(α2),⋯,σ(αn)是 V ′ V' V′的一个基
由引理3立即可证必要性
充分性:
设 V V V与 V ′ V' V′都是域 F F F上的线性空间, d i m V ∗ = d i m V = n dim\space V^*=dim\space V=n dim V∗=dim V=n
在 V V V中取一个基 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn,在 V ′ V' V′中取一个基 γ 1 , γ 2 , ⋯ , γ n \gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_n γ1,γ2,⋯,γn
令 σ \sigma σ是 V V V到 V ′ V' V′的一个对应法则,它把 V V V中的向量 α = ∑ i = 1 n a i α i \alpha=\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\alpha_i α=i=1∑naiαi对应到 V ′ V' V′中的向量 ∑ i = 1 n a i γ i \sum\limits_{i=1}^{n}a_i\gamma_i i=1∑naiγi
V V V中每一个向量 α \alpha α都有 V ′ V' V′中唯一的向量与 α \alpha α对应;由于 γ 1 , γ 2 , ⋯ , γ n \gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_n γ1,γ2,⋯,γn是 V ′ V' V′的一个基,因此 V V V中不同的向量对应于 V ′ V' V′中不同的向量;并且 V ′ V' V′中每一个向量 δ = ∑ i = 1 n b i γ i \delta=\sum\limits_{i=1}^{n}b_i\gamma_i δ=i=1∑nbiγi都有 V V V中向量 β = ∑ i = 1 n b i α i \beta=\sum\limits_{i=1}^{n}b_i\alpha_i β=i=1∑nbiαi对应于 δ \delta δ。因此 σ \sigma σ是 V V V到 V ′ V' V′的一个双射
设 α = ∑ i = 1 n a i α i \alpha=\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\alpha_i α=i=1∑naiαi, β = ∑ i = 1 n b i γ i \beta=\sum\limits_{i=1}^{n}b_i\gamma_i β=i=1∑nbiγi, k ∈ F k\in F k∈F,则:
σ ( α + β ) = σ ( ∑ i = 1 n ( a i + b i ) α i ) = ∑ i = 1 n ( a i + b i ) γ i = ∑ i = 1 n a i γ i + ∑ i = 1 n b i γ i = σ ( α ) + σ ( β ) \sigma(\alpha+\beta)=\sigma(\sum\limits_{i=1}^{n}(a_i+b_i)\alpha_i)=\sum\limits_{i=1}^{n}(a_i+b_i)\gamma_i=\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\gamma_i+\sum\limits_{i=1}^{n}b_i\gamma_i=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta) σ(α+β)=σ(i=1∑n(ai+bi)αi)=i=1∑n(ai+bi)γi=i=1∑naiγi+i=1∑nbiγi=σ(α)+σ(β)
σ ( k α ) = σ ( ∑ i = 1 n ( k a i ) α i ) = ∑ i = 1 n ( k a i ) γ i = k ∑ i = 1 n a i γ i = k σ ( α ) \sigma(k\alpha)=\sigma(\sum\limits_{i=1}^{n}(ka_i)\alpha_i)=\sum\limits_{i=1}^{n}(ka_i)\gamma_i=k\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\gamma_i=k\sigma(\alpha) σ(kα)=σ(i=1∑n(kai)αi)=i=1∑n(kai)γi=ki=1∑naiγi=kσ(α)
因此 σ \sigma σ是 V V V到 V ′ V' V′的一个同构映射,从而 V ≅ V ′ V\cong V' V≅V′
对偶基
V V V是域 F F F上的线性空间, V V V中取一个基 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn,现要求 V ∗ V^* V∗的一个基
上文中我们证明了:
任给域 F F F中 n n n个元素 a 1 , ⋯ , a n a_1,\cdots,a_n a1,⋯,an,存在唯一的线性函数 f f f使得 f ( α i ) = a i f(\alpha_i)=a_i f(αi)=ai,其中 i = 1 , 2 , ⋯ , n i = 1,2,\cdots,n i=1,2,⋯,n
因此:
F F F中给定 n n n个元素 | V V V上的线性函数 |
---|---|
1 , 0 , 0 , ⋯ , 0 1,0,0,\cdots,0 1,0,0,⋯,0 | 存在唯一的 f 1 f_1 f1,使得 f 1 ( α 1 ) = 1 f_1(\alpha_1)=1 f1(α1)=1,且 f 1 ( α j ) = 0 , j ≠ 1 f_1(\alpha_j)=0,j\neq 1 f1(αj)=0,j=1 |
0 , 1 , 0 , ⋯ , 0 0,1,0,\cdots,0 0,1,0,⋯,0 | 存在唯一的 f 2 f_2 f2,使得 f 2 ( α 2 ) = 1 f_2(\alpha_2)=1 f2(α2)=1,且 f 2 ( α j ) = 0 , j ≠ 2 f_2(\alpha_j)=0,j\neq 2 f2(αj)=0,j=2 |
⋯ \cdots ⋯ | ⋯ \cdots ⋯ |
0 , 0 , 0 , ⋯ , 1 0,0,0,\cdots,1 0,0,0,⋯,1 | 存在唯一的 f n f_n fn,使得 f n ( α n ) = 1 f_n(\alpha_n)=1 fn(αn)=1,且 f j ( α j ) = 0 , j ≠ n f_j(\alpha_j)=0,j\neq n fj(αj)=0,j=n |
我们希望 f 1 , f 2 , ⋯ , f n f_1,f_2,\cdots,f_n f1,f2,⋯,fn线性无关,于是尝试证明它
设 k 1 f 1 + k 2 f 2 + ⋯ + k n f n = 0 k_{1}f_{1}+k_{2}f_{2}+\cdots+k_{n}f_{n}=0 k1f1+k2f2+⋯+knfn=0,其中 k 1 , k 2 , ⋯ , k n ∈ F k_1,k_2,\cdots,k_n\in F k1,k2,⋯,kn∈F,等式右边的 0 0 0表示 0 0 0函数
考虑等式左右两边在 α 1 \alpha_1 α1上的函数值: k 1 f 1 ( α 1 ) + k 2 f 2 ( α 1 ) + ⋯ + k n f n ( α 1 ) = 0 k_{1}f_{1}(\alpha_1)+k_{2}f_{2}(\alpha_1)+\cdots+k_{n}f_{n}(\alpha_1)=0 k1f1(α1)+k2f2(α1)+⋯+knfn(α1)=0,等式右边的 0 0 0表示域 F F F中的零元,即 0 0 0函数作用在 α 1 \alpha_1 α1上得到的结果。因为 f 1 ( α 1 ) = 1 f_1(\alpha_1)=1 f1(α1)=1,且 f j ( α 1 ) = 0 , j ≠ 1 f_j(\alpha_1)=0,j\neq 1 fj(α1)=0,j=1,所以 k 1 = 0 k_1=0 k1=0
同理:
k 1 f 1 ( α 2 ) + k 2 f 2 ( α 2 ) + ⋯ + k n f n ( α 2 ) = 0 ⇒ k 2 = 0 k_{1}f_{1}(\alpha_2)+k_{2}f_{2}(\alpha_2)+\cdots+k_{n}f_{n}(\alpha_2)=0 {\Large\space\Rarr\space} k_2=0 k1f1(α2)+k2f2(α2)+⋯+knfn(α2)=0 ⇒ k2=0
⋮ \vdots ⋮
k 1 f 1 ( α n ) + k 2 f 2 ( α n ) + ⋯ + k n f n ( α n ) = 0 ⇒ k n = 0 k_{1}f_{1}(\alpha_n)+k_{2}f_{2}(\alpha_n)+\cdots+k_{n}f_{n}(\alpha_n)=0 {\Large\space\Rarr\space} k_n=0 k1f1(αn)+k2f2(αn)+⋯+knfn(αn)=0 ⇒ kn=0
从而 k 1 = k 2 = ⋯ = k n = 0 k_1=k_2=\cdots=k_n=0 k1=k2=⋯=kn=0, f 1 , f 2 , ⋯ , f n f_1,f_2,\cdots,f_n f1,f2,⋯,fn线性无关
又由于 d i m V ∗ = n dim\space V^*=n dim V∗=n,因此 f 1 , f 2 , ⋯ , f n f_1,f_2,\cdots,f_n f1,f2,⋯,fn是 V ∗ V^* V∗的一个基
线性空间 V V V具有这样的性质:如果 d i m V = n dim\space V=n dim V=n,则 V V V中任意 n n n个线性无关的向量都是 V V V的一个基
在 V V V中任取 n n n个线性无关的向量 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn,可以证明:
∀ β ∈ V , α 1 , α 2 , ⋯ , α n , β \forall\beta\in V,\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n,\beta ∀β∈V,α1,α2,⋯,αn,β线性相关 ⇒ {\Large\space\Rarr\space} ⇒ β \beta β可以由 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn线性表出 ⇒ {\Large\space\Rarr\space} ⇒ α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn是 V V V的一个基
我们把 f 1 , f 2 , ⋯ , f n f_1,f_2,\cdots,f_n f1,f2,⋯,fn称为 V V V的基 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn的对偶基
从上述求对偶基的过程中,可以得到它的一个性质:
f i ( α j ) = { 1 ( j = i ) 0 ( j ≠ i ) f_i(\alpha_j)=\left\{\begin{array}{rl} 1 & (j=i) \\ 0 & (j\neq i) \end{array}\right. fi(αj)={ 10(j=i)(j=i)
也可以写成 f i ( α j ) = δ i j , i , j ∈ { 1 , 2 , ⋯ , n } f_i(\alpha_j)=\delta_{ij},\quad i,j\in\{1,2,\cdots,n\} fi(αj)=δij,i,j∈{ 1,2,⋯,n},其中 δ \delta δ称为克罗内克尔符号(kronecker symbol)
V V V与 V ∗ V^* V∗中元素坐标的性质
设 V V V中任一向量 α = ∑ i = 1 n x i α i \alpha=\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\alpha_i α=i=1∑nxiαi,现要求 α \alpha α在基 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn下的坐标 x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_1,x_2,\cdots,x_n x1,x2,⋯,xn
考虑 f i f_i fi在 α \alpha α上的函数值,其中 i = 1 , 2 , ⋯ , n i=1,2,\cdots,n i=1,2,⋯,n,有:
f i ( α ) = ∑ j = 1 n x j f i ( α j ) = x i f_i(\alpha)=\sum\limits_{j=1}^{n}x_{j}f_{i}(\alpha_j)=x_i fi(α)=j=1∑nxjfi(αj)=xi(仅当 j = i j=i j=i时 f i ( α j ) = 1 f_i(\alpha_j)=1 fi(αj)=1,否则 f i ( α j ) = 0 f_i(\alpha_j)=0 fi(αj)=0)
因此:
α = ∑ i = 1 n f i ( α ) α i \alpha=\sum\limits_{i=1}^{n}f_i(\alpha)\alpha_i α=i=1∑nfi(α)αi
接着求 V ∗ V^* V∗中任一元素 f = ∑ i = 1 n k i f i f=\sum\limits_{i=1}^{n}k_{i}f_{i} f=i=1∑nkifi在基 f 1 , f 2 , ⋯ , f n f_1,f_2,\cdots,f_n f1,f2,⋯,fn下的坐标 k 1 , k 2 , ⋯ , k n k_1,k_2,\cdots,k_n k1,k2,⋯,kn
考虑 f f f在 α i \alpha_i αi上的函数值,其中 i = 1 , 2 , ⋯ , n i=1,2,\cdots,n i=1,2,⋯,n,有:
f ( α i ) = ( ∑ j = 1 n k j f j ) ( α i ) = ∑ j = 1 n k j f j ( α i ) = k i f(\alpha_i)=(\sum\limits_{j=1}^{n}k_{j}f_{j})(\alpha_i)=\sum\limits_{j=1}^{n}k_{j}f_{j}(\alpha_i)=k_i f(αi)=(j=1∑nkjfj)(αi)=j=1∑nkjfj(αi)=ki
因此:
f = ∑ i = 1 n f ( α i ) f i f=\sum\limits_{i=1}^{n}f(\alpha_i)f_i f=i=1∑nf(αi)fi
对偶基与过渡矩阵
设 V V V是域 F F F上的 n n n维线性空间
在 V V V中取两个基 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn和 β 1 , β 2 , ⋯ , β n \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n β1,β2,⋯,βn
它们的对偶基分别是 f 1 , f 2 , ⋯ , f n f_1,f_2,\cdots,f_n f1,f2,⋯,fn和 g 1 , g 2 , ⋯ , g n g_1,g_2,\cdots,g_n g1,g2,⋯,gn
如果:
( β 1 , β 2 , ⋯ , β n ) = ( α 1 , α 2 , ⋯ , α n ) A (\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)A (β1,β2,⋯,βn)=(α1,α2,⋯,αn)A
( g 1 , g 2 , ⋯ , g n ) = ( f 1 , f 2 , ⋯ , f n ) B (g_1,g_2,\cdots,g_n)=(f_1,f_2,\cdots,f_n)B (g1,g2,⋯,gn)=(f1,f2,⋯,fn)B
其中 A A A称为 V V V中基 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn到基 β 1 , β 2 , ⋯ , β n \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n β1,β2,⋯,βn的过渡矩阵, B B B称为 V ∗ V^* V∗中基 f 1 , f 2 , ⋯ , f n f_1,f_2,\cdots,f_n f1,f2,⋯,fn到基 g 1 , g 2 , ⋯ , g n g_1,g_2,\cdots,g_n g1,g2,⋯,gn的过渡矩阵
接下来探讨矩阵 A A A与矩阵 B B B的关系
由 ( β 1 , β 2 , ⋯ , β n ) = ( α 1 , α 2 , ⋯ , α n ) A (\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)A (β1,β2,⋯,βn)=(α1,α2,⋯,αn)A可以得到:
( α 1 , α 2 , ⋯ , α n ) = ( β 1 , β 2 , ⋯ , β n ) A − 1 (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)=(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)A^{-1} (α1,α2,⋯,αn)=(β1,β2,⋯,βn)A−1
定理:过渡矩阵一定是可逆矩阵
证明:
设 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn和 β 1 , β 2 , ⋯ , β n \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n β1,β2,⋯,βn都是 V V V的基, ( β 1 , β 2 , ⋯ , β n ) = ( α 1 , α 2 , ⋯ , α n ) A (\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)A (β1,β2,⋯,βn)=(α1,α2,⋯,αn)A
设 X = ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) T X=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T X=(x1,x2,⋯,xn)T
β 1 , β 2 , ⋯ , β n \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n β1,β2,⋯,βn线性无关 ⇒ {\Large\space\Rarr\space} ⇒ ( β 1 , β 2 , ⋯ , β n ) X = 0 (\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)X=0 (β1,β2,⋯,βn)X=0只有零解 ⇒ {\Large\space\Rarr\space} ⇒ ( α 1 , α 2 , ⋯ , α n ) A X = 0 (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)AX=0 (α1,α2,⋯,αn)AX=0只有零解
又由 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn线性无关,得到 A X = 0 AX=0 AX=0只有零解
于是 ∣ A ∣ ≠ 0 |A|\neq 0 ∣A∣=0,所以 A A A是可逆矩阵
设 A − 1 = ( c 11 ⋯ c 1 j ⋯ c 1 n ⋮ ⋮ ⋮ c n 1 ⋯ c n j ⋯ c n n ) A^{-1}=\left(\begin{array}{c} c_{11} & \cdots & c_{1j} & \cdots & c_{1n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ c_{n1} & \cdots & c_{nj} & \cdots & c_{nn}\end{array}\right) A−1=⎝⎜⎛c11⋮cn1⋯⋯c1j⋮cnj⋯⋯c1n⋮cnn⎠⎟⎞
则 ∀ j = 1 , 2 , ⋯ , n \forall j=1,2,\cdots,n ∀j=1,2,⋯,n,有:
α j = ∑ i = 1 n c i j β i \alpha_j=\sum\limits_{i=1}^{n}c_{ij}\beta_i αj=i=1∑ncijβi
由上一小节所证, β \beta β在基 β 1 , β 2 , ⋯ , β n \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n β1,β2,⋯,βn下的坐标的第 i i i个分量 = = =对偶基的第 i i i个线性函数 g i g_i gi在 β \beta β的函数值 g i ( β ) g_i(\beta) gi(β)。用 α j \alpha_j αj替换 β \beta β得到式子:
α j = ∑ i = 1 n g i ( α j ) β i \alpha_j=\sum\limits_{i=1}^{n}g_i(\alpha_j)\beta_i αj=i=1∑ngi(αj)βi
从而得到:
α j = ∑ i = 1 n c i j β i α j = ∑ i = 1 n g i ( α j ) β i } ⇒ c i j = g i ( α j ) \left.\begin{array}{l} \alpha_j=\sum\limits_{i=1}^{n}c_{ij}\beta_i \\ \alpha_j=\sum\limits_{i=1}^{n}g_i(\alpha_j)\beta_i \end{array}\right\} {\Large\space\Rarr\space} c_{ij}=g_i(\alpha_j) αj=i=1∑ncijβiαj=i=1∑ngi(αj)βi⎭⎪⎬⎪⎫ ⇒ cij=gi(αj)
设 B = ( b 11 ⋯ b 1 i ⋯ b 1 n ⋮ ⋮ ⋮ b n 1 ⋯ b n i ⋯ b n n ) B=\left(\begin{array}{c} b_{11} & \cdots & b_{1i} & \cdots & b_{1n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ b_{n1} & \cdots & b_{ni} & \cdots & b_{nn}\end{array}\right) B=⎝⎜⎛b11⋮bn1⋯⋯b1i⋮bni⋯⋯b1n⋮bnn⎠⎟⎞
∀ i = 1 , 2 , ⋯ , n \forall i=1,2,\cdots,n ∀i=1,2,⋯,n,由 ( g 1 , g 2 , ⋯ , g n ) = ( f 1 , f 2 , ⋯ , f n ) B (g_1,g_2,\cdots,g_n)=(f_1,f_2,\cdots,f_n)B (g1,g2,⋯,gn)=(f1,f2,⋯,fn)B可得:
g i = ∑ j = 1 n b j i f i g_i=\sum\limits_{j=1}^{n}b_{ji}f_i gi=j=1∑nbjifi
由上一小节所证,线性函数 f f f在对偶基 f 1 , f 2 , ⋯ , f n f_1,f_2,\cdots,f_n f1,f2,⋯,fn下的坐标的第 j j j个分量 = = = f f f在 α j \alpha_j αj处的函数值 f ( α j ) f(\alpha_j) f(αj)。用 g i g_i gi替换 f f f得到式子:
g i = ∑ j = 1 n g i ( α j ) f j g_i=\sum\limits_{j=1}^{n}g_i(\alpha_j)f_j gi=j=1∑ngi(αj)fj
从而得到:
g i = ∑ j = 1 n b j i f i g i = ∑ j = 1 n g i ( α j ) f j } ⇒ b j i = g i ( α j ) \left.\begin{array}{l} g_i=\sum\limits_{j=1}^{n}b_{ji}f_i \\ g_i=\sum\limits_{j=1}^{n}g_i(\alpha_j)f_j \end{array}\right\} {\Large\space\Rarr\space} b_{ji}=g_i(\alpha_j) gi=j=1∑nbjifigi=j=1∑ngi(αj)fj⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫ ⇒ bji=gi(αj)
于是:
c i j = g i ( α j ) b j i = g i ( α j ) } ⇒ b j i = c i j \left.\begin{array}{l} c_{ij}=g_i(\alpha_j) \\ b_{ji}=g_i(\alpha_j) \end{array}\right\} {\Large\space\Rarr\space} b_{ji}=c_{ij} cij=gi(αj)bji=gi(αj)} ⇒ bji=cij
那么得出结论:
B = ( A − 1 ) T B=(A^{-1})^T B=(A−1)T
双重对偶空间
设 V V V是域 F F F上的 n n n维线性空间,那么 V V V的对偶空间 V ∗ V^* V∗也是域 F F F上的 n n n维线性空间,因此 V ∗ V^* V∗也有对偶空间 ( V ∗ ) ∗ (V^*)^* (V∗)∗,简记为 V ∗ ∗ V^{**} V∗∗
V ∗ ∗ V^{**} V∗∗称为 V V V的双重对偶空间
由对偶空间的性质知:
d i m V ∗ ∗ = d i m V ∗ = d i m V = n dim\space V^{**}=dim\space V^*=dim\space V=n dim V∗∗=dim V∗=dim V=n
V ≅ V ∗ ≅ V ∗ ∗ V\cong V^* \cong V^{**} V≅V∗≅V∗∗(这三个线性空间同构)
V V V中取一个基 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn
V ∗ V^* V∗中关于 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn的对偶基为 f 1 , f 2 , ⋯ , f n f_1,f_2,\cdots,f_n f1,f2,⋯,fn
V ∗ ∗ V^{**} V∗∗中关于 f 1 , f 2 , ⋯ , f n f_1,f_2,\cdots,f_n f1,f2,⋯,fn的对偶基记作 α 1 ∗ ∗ , α 2 ∗ ∗ , ⋯ , α n ∗ ∗ \alpha_1^{**},\alpha_2^{**},\cdots,\alpha_n^{**} α1∗∗,α2∗∗,⋯,αn∗∗
设 σ \sigma σ是 V V V到 V ∗ V^* V∗的一个同构映射,它把 V V V中的向量 α = ∑ i = 1 n x i α i \alpha=\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\alpha_i α=i=1∑nxiαi映射为 V ∗ V^* V∗中的向量 f = ∑ i = 1 n x i f i f=\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}f_{i} f=i=1∑nxifi
设 τ \tau τ是 V ∗ V^* V∗到 V ∗ ∗ V^{**} V∗∗的一个同构映射,它把 V ∗ V^* V∗中的向量 f = ∑ i = 1 n x i f i f=\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}f_{i} f=i=1∑nxifi映射为 V ∗ V^* V∗中的向量 α ∗ ∗ = ∑ i = 1 n x i α i ∗ ∗ \alpha^{**}=\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\alpha_i^{**} α∗∗=i=1∑nxiαi∗∗
于是有: τ σ \tau\sigma τσ是 V V V到 V ∗ ∗ V^{**} V∗∗的一个同构映射,它把 V V V中的向量 α = ∑ i = 1 n x i α i \alpha=\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\alpha_i α=i=1∑nxiαi映射为 V ∗ V^* V∗中的向量 α ∗ ∗ = ∑ i = 1 n x i α i ∗ ∗ \alpha^{**}=\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\alpha_i^{**} α∗∗=i=1∑nxiαi∗∗
定理:两个同构映射的乘积仍然是同构映射
证明:
∀ α , β ∈ V , k ∈ F \forall\alpha,\beta\in V,k\in F ∀α,β∈V,k∈F,有:
( τ σ ) ( α + β ) = τ ( σ ( α + β ) ) = τ ( σ ( α ) + σ ( β ) ) = τ σ ( α ) + τ σ ( β ) (\tau\sigma)(\alpha+\beta)=\tau(\sigma(\alpha+\beta))=\tau(\sigma(\alpha)+\sigma(\beta))=\tau\sigma(\alpha)+\tau\sigma(\beta) (τσ)(α+β)=τ(σ(α+β))=τ(σ(α)+σ(β))=τσ(α)+τσ(β)
( τ σ ) ( k α ) = τ ( σ ( k α ) ) = τ ( k σ ( α ) ) = k τ σ ( α ) (\tau\sigma)(k\alpha)=\tau(\sigma(k\alpha))=\tau(k\sigma(\alpha))=k\tau\sigma(\alpha) (τσ)(kα)=τ(σ(kα))=τ(kσ(α))=kτσ(α)
因此 τ σ \tau\sigma τσ是同构映射
任给 f ∈ V ∗ f\in V^* f∈V∗,有:
α ∗ ∗ ( f ) = ( ∑ i = 1 n x i α i ∗ ∗ ) ( f ) \alpha^{**}(f)=(\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\alpha_i^{**})(f) α∗∗(f)=(i=1∑nxiαi∗∗)(f) ( α ∗ ∗ \alpha^{**} α∗∗由基 α 1 ∗ ∗ , α 2 ∗ ∗ , ⋯ , α n ∗ ∗ \alpha^{**}_1,\alpha^{**}_2,\cdots,\alpha^{**}_n α1∗∗,α2∗∗,⋯,αn∗∗线性表出)
= ∑ i = 1 n x i α i ∗ ∗ ( f ) =\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\alpha_i^{**}(f) =i=1∑nxiαi∗∗(f) (线性映射的和与纯量乘积的定义)
= ∑ i = 1 n x i α i ∗ ∗ ( ∑ j = 1 n f ( α j ) f j ) =\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\alpha_i^{**}(\sum\limits_{j=1}^{n}f(\alpha_j)f_j) =i=1∑nxiαi∗∗(j=1∑nf(αj)fj) (线性函数在对偶基下的坐标)
= ∑ i = 1 n x i ( ∑ j = 1 n f ( α j ) α i ∗ ∗ ( f j ) ) =\sum\limits_{i=1}^{n}x_i(\sum\limits_{j=1}^{n}f(\alpha_j)\alpha_i^{**}(f_j)) =i=1∑nxi(j=1∑nf(αj)αi∗∗(fj)) (线性映射的加法和纯量乘法)
= ∑ i = 1 n x i f ( α i ) =\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}f(\alpha_{i}) =i=1∑nxif(αi) (由 α i ∗ ∗ ( f j ) = δ i j \alpha_i^{**}(f_j)=\delta_{ij} αi∗∗(fj)=δij得到)
= f ( ∑ i = 1 n x i α i ) =f(\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}\alpha_{i}) =f(i=1∑nxiαi) (线性映射的加法和纯量乘法)
= f ( α ) =f(\alpha) =f(α) ( α \alpha α由基 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn线性表出)
由 α ∗ ∗ ( f ) = f ( α ) \alpha^{**}(f)=f(\alpha) α∗∗(f)=f(α),可以得出结论:
记 α ∗ ∗ \alpha^{**} α∗∗是 α \alpha α在 V V V到 V ∗ ∗ V^{**} V∗∗的同构映射下的像, f f f是 V ∗ V^* V∗中的任一元素,则 α ∗ ∗ \alpha^{**} α∗∗在 f f f处的函数值 α ∗ ∗ ( f ) \alpha^{**}(f) α∗∗(f)仅仅由 α \alpha α和 f f f本身决定,与所取的基 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,⋯,αn没有关系
这种不依赖于基的选择的同构映射称为自然同构
于是可以把 α \alpha α与 α ∗ ∗ \alpha^{**} α∗∗等同,从而可以把 V V V与 V ∗ ∗ V^{**} V∗∗等同
于是 V V V可看成是 V ∗ V^* V∗的对偶空间
因此 V V V与 V ∗ V^* V∗互为对偶空间