多元函数第二：线性空间（1）定义

线性空间是属于线性代数研究的对象。之所以也放在多元函数专题中，是为了主题的连续性。否则一会多元函数，一会线性代数，太乱了。更何况，数学的各个分支学科本就是相互渗透，融合。将各个学科刻意地孤立，除了让人更加困惑，别无他用。我在学习数学时，常常遇到看不下去的情况。之所以看不下去，是因为预备知识掌握得不充分。再深究下去，就是没有完整的数学知识体系。例如，如果我们对多元函数和线性代数没有充分的认识，直接去学最优化的知识，往往只能一知半解，事倍功半。再比如，如果没有扎实的最优化和概率论的基础，要去学机器学习的知识，那也是缘木求鱼，本末倒置。这也是我将机器学习的专题暂且搁置，转而学习数学基础的原因。机器学习的知识看得越多，疑惑就越多。疑惑多到一定程度，就再不能妄图自欺欺人，蒙混过去了。

闲言少叙。线性空间在多元函数的意义是不言而喻的。多元函数中最重要的函数，就是线性变换。多元函数导数的定义，完全依赖于线性变换。而要学习线性变换，线性空间又是绕不开的主题。

既然线性空间是线性代数的研究对象，当然首先要从代数说起，方不辜负了“线性代数”这样高大上的名字。然而，我并不想对代数学做系统的介绍。因为代数学比分析学要的烧脑得多了。以我浅薄的见识，还不足以介绍代数学专题。所以，对代数学，我一直是点到即止。

定义. 阿贝尔群（Abelian Group）. 一个非空集合G连同在G上定义的运算*被称作是阿贝尔群，或可交换群，如果它们满足：

运算封闭性，即对任意的 $a,b\in G$ 有 $a*b\in G$ ;
交换律，即a*b=b*a;
结合律，即(a*b)*c=a*(b*c);
存在幺元e使得a*e=a对所有的a成立；
对所有的a存在逆元 $a^{-1}$ ，使得 $a*a^{-1}=e$ 。

上面的定义中，运算*可以是加法运算，或是乘法运算，或是其他的运算。当*是加法运算时，我们会把幺元写成0，而a的逆元写成-a。当*是乘法运算时，我们会把幺元写成1，逆元写成 $a^{-1}$ 。当然，这些符号的定义，并没有什么实质的区别，只是为了我们阅读方便而已。在有的时候，我们会直接称呼由加法运算定义的群为加法群，由乘法运算定义的群为乘法群。这些称呼并不准确，但很方便。名可名，非常名。其实，很多的“名”，都是我们明知是错而名之。

例. 假如F是一个域，在它上面定义了加法运算(+)和乘法运算( $\cdot$ )。那么可以证明F连同加法运算，构成了一个加法交换群；而F/{0}（剔除加法幺元的集合F）连同它上面的乘法运算构成了一个乘法交换群。

从上面我们可以知道，群是比域更“简单”的代数系统。因为在群上只有一个运算，而在域上需要定义两个运算。可是群虽然“简单”，但性质却也并不算少。

严格来说，一个集合不能算是一个代数系统。一个代数系统，必须是集合与运算，两部分组成。所以，我们严格来说，应该将群记作一个二元组<G,*>，将域记作一个三元组 $<F,+,\cdot>$ 。但明知是错而名之，在不造成歧义的情况下，我们喜欢直接将集合记作代数系统。我们常常会说群G，域F。

一个线性空间，是在阿贝尔群的基础上定义的。

定义. 设V是一个阿贝尔加法群，F是一个域。若存在关于F和V的数乘运算（ $\cdot$ ），满足：

数乘运算封闭性，即 $\alpha\cdot v \in V$ 对所有的 $\alpha \in F, v\in V$ 成立；
数乘运算结合律，即 $（\alpha\bigotimes \beta）\cdot v = \alpha \cdot (\beta \cdot v)$ $(\alpha \otimes \beta ) \cdot v = \alpha \cdot (\beta \cdot v)$ 对所有的 $\alpha, \beta \in F, v\in V$ 成立，这里 $\otimes$ 是域F上的乘法运算；
分配律，即 $(\alpha \oplus \beta) \cdot v = (a\cdot v) + (\beta \cdot v)$ 并且 $\alpha \cdot (v + w) = (\alpha \cdot v) + (\alpha \cdot w)$ 对所有的 $\alpha, \beta \in F, v, w\in V$ 成立，这里 $\oplus$ 是域F上的加法运算，+是阿贝尔加法群V上的加法运算；
$1\cdot v = v$ ，这里的1是域F上的乘法幺元。

则称V是域F上的线性空间。

例. 上面的定义很抽象，但却是最严格的定义。在多元函数中，通常F取的是实数域R，而V是R的n维向量组成的集合。

两个向量的加法运算，就是我们熟知的向量加法。若 $v=(v_1,v_2,...,v_n),w=(w_1,w_2,...,w_n)$ 则有 $v+w=(v_1+w_1,v_2+w_2,...,v_n+w_n)$ 。
数乘运算满足 $\alpha\cdot v=(\alpha v_1, \alpha v_2,...,\alpha v_n)$ 。

注意，在这里我们把向量的加法和实数域上的加法都记作+，又一次明知是错而名之。

多元函数第二：线性空间（1）定义

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