离散时间信号与系统
1.1离散时间信号
1.1.1相关概念
序列的表示 x ( n ) x(n) x(n)
x ( n T s ) = x ( t ) ∣ t = n T s ⇒ x ( n ) x(nT_s) = x(t)|_{t=nT_s}\Rightarrow x(n) x(nTs)=x(t)∣t=nTs⇒x(n) n不是整数的时候没有定义
- n n n : 所有整数
- T s T_s Ts :抽样间隔
- f s f_s fs 抽样频率 f s = 1 T s f_s=\frac{1}{T_s} fs=Ts1
序列的运算
-
差分
- 前向差分 Δ x ( n ) = x ( n + 1 ) − x ( n − 1 ) \Delta x(n)=x(n+1)-x(n-1) Δx(n)=x(n+1)−x(n−1)
- 后向差分 ∇ x ( n ) = x ( n ) − x ( n − 1 ) \nabla x(n) =x(n) - x(n-1) ∇x(n)=x(n)−x(n−1)
- ∇ x ( n ) = Δ x ( n − 1 ) \nabla x(n)=\Delta x(n-1) ∇x(n)=Δx(n−1)
- 前向差分的单位延时就是后向差分
-
卷积和
- y ( n ) = x ( n ) ∗ h ( n ) = ∑ m = − ∞ ∞ x ( m ) h ( n − m ) y(n)=x(n)*h(n)= \sum_{m=-\infty}^{\infty}x(m)h(n-m) y(n)=x(n)∗h(n)=∑m=−∞∞x(m)h(n−m)
- 性质:交换律
- x ( n ) = { 2 , 3 , 1 ; n = 0 , 1 , 2 } x(n)={\{2,3,1;n=0,1,2\}} x(n)={
2,3,1;n=0,1,2}
y ( n ) = { 1 , 0 , 2 ; n = 0 , 1 , 2 } y(n)={\{1,0,2;n=0,1,2\}} y(n)={ 1,0,2;n=0,1,2}
x ( n ) ∗ y ( n ) = { 2 , 3 , 5 , 6 , 2 ; n = 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } x(n)*y(n)=\{2,3,5,6,2;n=2,3,4,5,6\} x(n)∗y(n)={ 2,3,5,6,2;n=2,3,4,5,6}
2 3 1
1 0 2
---------
4 6 2
0 0 0
2 3 1
-------------------
2 3 5 6 2
- y ( n ) = x ( n ) ∗ h ( n ) = ∑ m = − ∞ ∞ x ( m ) h ( n − m ) y(n)=x(n)*h(n)= \sum_{m=-\infty}^{\infty}x(m)h(n-m) y(n)=x(n)∗h(n)=∑m=−∞∞x(m)h(n−m)
-
常见序列
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单位抽样序列
- δ ( n ) = { 1 , n = 0 0 , n ! = 0 \delta (n)= \begin{cases}1,& n=0\\ 0,&n!=0 \end{cases} δ(n)={ 1,0,n=0n!=0 δ ( n − k ) = { 1 , n = k 0 , n ! = k \delta (n-k)= \begin{cases}1,& n=k\\ 0,&n!=k \end{cases} δ(n−k)={ 1,0,n=kn!=k
-
单位阶跃序列
- u ( n ) = { 1 , n ≥ 0 0 , n < 0 u (n)= \begin{cases}1,& n \geq 0\\ 0,&n<0 \end{cases} u(n)={ 1,0,n≥0n<0
-
矩形序列
- R N ( n ) = { 1 , 0 ≤ n ≤ N − 1 0 , e l s e R_N(n)=\begin{cases} 1,& 0\leq n \leq N-1 \\ 0, & else \end{cases} RN(n)={ 1,0,0≤n≤N−1else
- R N ( n ) , u ( n ) , δ ( n ) R_N(n),u(n),\delta (n) RN(n),u(n),δ(n)
- R N ( n ) = u ( n ) − u ( n − N ) R_N(n) = u(n)-u(n-N) RN(n)=u(n)−u(n−N)
- R N ( n ) = δ ( n ) + δ ( n − 1 ) + … … + δ ( n − N + 1 ) = ∑ m = 0 N − 1 δ ( n − m ) R_N(n)= \delta(n) + \delta(n - 1) +……+\delta (n-N+1) =\sum_{m=0}^{N-1}\delta(n-m) RN(n)=δ(n)+δ(n−1)+……+δ(n−N+1)=∑m=0N−1δ(n−m)
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实指数序列
- x ( n ) = α n u ( n ) x(n)={\alpha}^nu(n) x(n)=αnu(n) α \alpha α为实数
- ∣ α ∣ < 1 |\alpha|<1 ∣α∣<1 ,序列收敛
- ∣ α ∣ > 1 |\alpha |>1 ∣α∣>1 ,序列发散
- x ( n ) = α n u ( n ) x(n)={\alpha}^nu(n) x(n)=αnu(n) α \alpha α为实数
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复指数序列
- 一般形式: x ( n ) = e ( σ + j ω 0 ) n x(n)=e^{(\sigma + j {\omega}_0 )n} x(n)=e(σ+jω0)n
- 纯虚数形式: x ( n ) = e j ω 0 n x(n) = e^{j {\omega}_0 n} x(n)=ejω0n
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正弦型序列
- x ( n ) = x ( t ) ∣ t = n T = A s i n ( 2 π f t + φ ) ∣ t = n T = A s i n ( Ω n T + φ ) = A s i n ( ω n + φ ) x(n) =x(t)|_{t=nT}=Asin(2\pi ft +\varphi)|_{t=nT}=Asin(\Omega nT + \varphi)=Asin(\omega n + \varphi) x(n)=x(t)∣t=nT=Asin(2πft+φ)∣t=nT=Asin(ΩnT+φ)=Asin(ωn+φ)
- 数字角频率 ω = 2 π f f s = Ω T ( r a d ) \omega =\frac{2 \pi f}{f_s}=\Omega T(rad) ω=fs2πf=ΩT(rad)
- 模拟角频率 Ω \Omega Ω
- 模拟频率 f f f
- 抽样频率 f s f_s fs
- x ( n ) = x ( t ) ∣ t = n T = A s i n ( 2 π f t + φ ) ∣ t = n T = A s i n ( Ω n T + φ ) = A s i n ( ω n + φ ) x(n) =x(t)|_{t=nT}=Asin(2\pi ft +\varphi)|_{t=nT}=Asin(\Omega nT + \varphi)=Asin(\omega n + \varphi) x(n)=x(t)∣t=nT=Asin(2πft+φ)∣t=nT=Asin(ΩnT+φ)=Asin(ωn+φ)
-
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欧拉公式
- { e j ω n = c o s ( ω n ) + s i n ( ω n ) e − j ω n = c o s ( ω n ) − j s i n ( ω n ) \begin{cases} e^{j \omega n}=cos(\omega n)+sin(\omega n) \\ e^{-j \omega n}=cos(\omega n)-jsin(\omega n) \end{cases} { ejωn=cos(ωn)+sin(ωn)e−jωn=cos(ωn)−jsin(ωn)
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x ( n ) = e ( σ + j ω 0 n ) x(n) =e^{( \sigma + j {\omega}_0 n)} x(n)=e(σ+jω0n) = e σ n ∗ ( c o s ( n ω 0 ) + j s i n ( n ω 0 ) ) e^{\sigma n}*(cos(n{\omega}_0)+jsin(n {\omega}_0)) eσn∗(cos(nω0)+jsin(nω0))
1.1.2常见考题
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求解单位抽样响应
- 用那个相乘的方法即可
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求解是否为周期序列
-
S a ( t ) Sa(t) Sa(t)函数是非周期函数 <font color=‘green’, font=2>注: S a ( π x ) = s i n ( π x ) π x Sa(\pi x) = \frac{sin(\pi x)}{\pi x} Sa(πx)=πxsin(πx) 或者 S a ( x ) = s i n ( x ) x Sa(x) = \frac{sin(x)}{x} Sa(x)=xsin(x)
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x ( n ) = A c o s ( ω n + φ ) 或者 x ( n ) = A s i n ( ω n + φ ) x(n)=Acos(\omega n + \varphi)或者x(n)=Asin(\omega n + \varphi) x(n)=Acos(ωn+φ)或者x(n)=Asin(ωn+φ) 的周期判断如下
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暂令 Γ \Gamma Γ = 2 π ω 0 \frac{2 \pi}{ {\omega}_0} ω02π
1. 当 2 π ω 0 \frac{2\pi}{ {\omega}_0} ω02π 为整数时,例如: 2 π ω 0 \frac{2\pi}{ {\omega}_0} ω02π= N N N 时候,周期为N
2. 当 Γ \Gamma Γ 为有理数时,例如 Γ = N M \Gamma = \frac{N}{M} Γ=MN ( N , M N,M N,M 为互素的整数),则周期为 N N N
3. 当 Γ \Gamma Γ 为无理数时候,为非周期序列
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求解是否是线性的
- 找反例
- 是否满足零输入零输出
- 证明是否满足叠加原理(可加性,比例性)
- 例 y ( n ) = [ x ( n ) ] 2 y(n) =[x(n)]^2 y(n)=[x(n)]2
y 1 ( n ) = T [ x 1 ( n ) ] 2 y_1 (n) =T[x_1(n)]^2 y1(n)=T[x1(n)]2
y 2 ( n ) = T [ x 2 ( n ) ] 2 y_2(n)=T[x_2(n)]^2 y2(n)=T[x2(n)]2
T [ x 1 ( n ) + x 2 ( n ) ] = [ x 1 ( n ) + x 2 ( n ) ] 2 T[x_1(n) + x_2(n)] = [x_1(n)+x_2(n)]^2 T[x1(n)+x2(n)]=[x1(n)+x2(n)]2 != y 1 ( n ) + y 2 ( n ) y_1(n)+y_2(n) y1(n)+y2(n)
不满足叠加原理,故系统不是线性的
- 例 y ( n ) = [ x ( n ) ] 2 y(n) =[x(n)]^2 y(n)=[x(n)]2
- 证明系统是否是移不变的
- 找反例
- 直接证明移不变的性质
即 T [ x ( n − m ) ] = y ( n − m ) T[x(n-m)] = y(n-m) T[x(n−m)]=y(n−m)
说明: T [ x ( n − m ) ] T[x(n-m)] T[x(n−m)]表示把 x ( n ) 转换为 x ( n − m ) x(n)转换为x(n-m) x(n)转换为x(n−m), y ( n − m ) 表示将 y ( n ) 中的 n 换为 n − m y(n-m)表示将y(n)中的n换为n-m y(n−m)表示将y(n)中的n换为n−m- 例子同上
T [ x ( n − m ) ] = [ x ( n − m ) ] 2 = y ( n − m ) = [ x ( n − m ) ] 2 T[x(n-m)] = [x(n-m)]^2 = y(n-m) = [x(n-m)]^2 T[x(n−m)]=[x(n−m)]2=y(n−m)=[x(n−m)]2
故系统是移不变的
- 例子同上
因果系统
y ( n n 0 ) 只取决于 x ( n ) ∣ n < = n 0 y(n_{n0})只取决于x(n)|_{n<=n_0} y(nn0)只取决于x(n)∣n<=n0
title:线性移不变系统是因果系统的充要条件
h ( n ) ≡ = 0 , n < 0 ⇒ h ( n ) = h ( n ) u ( n ) h(n)\equiv=0, n<0 \Rightarrow h(n) = h(n)u(n) h(n)≡=0,n<0⇒h(n)=h(n)u(n)
稳定系统
有界输入产生有界输出
title:充要条件
∑ n = − ∞ ∞ ∣ h ( n ) ∣ = P < ∞ \sum_{n=-\infty}^{\infty}|h(n)|=P<\infty ∑n=−∞∞∣h(n)∣=P<∞
title: x 1 ( n ) , x 2 ( n ) 运算后的长度 x_1(n),x_2(n)运算后的长度 x1(n),x2(n)运算后的长度
- x 1 ( n ) + x 2 ( n ) x_1(n) + x_2(n) x1(n)+x2(n) len: l e n ( x 1 ) + l e n ( x 2 ) len(x_1) + len(x_2) len(x1)+len(x2)
- x 1 ( n ) ⋅ x 2 ( n ) x_1(n)\cdot x_2(n) x1(n)⋅x2(n) len: m i n ( l e n ( x 1 ) , l e n ( x 2 ) ) min(len(x_1),len(x_2)) min(len(x1),len(x2))
- x 1 ( n ) ∗ x 2 ( n ) x_1(n) * x_2(n) x1(n)∗x2(n) len: l e n ( x 1 ) + l e n ( x 2 ) + 1 len(x_1) + len(x_2) + 1 len(x1)+len(x2)+1