在推导光栅的色分辨率时，根据瑞利判据，将根据色散产生的角宽度 Δ θ = j Δ λ d cos θ \Delta \theta=\frac{j\Delta\lambda}{d\cos \theta} Δθ=dcosθjΔλ 与由于光栅衍射产生的角宽度 θ 1 = λ N d cos θ \theta_1=\frac{\lambda}{Nd\cos\theta} θ1=Ndcosθλ 相等而得到的光栅的色分辨率 R = λ Δ λ = j N R =\frac{\lambda}{\Delta\lambda}=jN R=Δλλ=jN
但是这里的 θ 1 \theta_1 θ1是如何得到的呢?
首先需要对光栅暗纹的位置做推导:
如果为暗纹，那么光栅各相邻缝之间满足相消条件。而相邻狭缝之间的相位差为： δ = 2 π λ d sin θ \delta =\frac{2\pi}\lambda d\sin\theta δ=λ2πdsinθ，那么由振幅矢量法，N个狭缝共同的相位差满足的暗纹条件为： N δ = ± 2 m π N\delta=\pm2m\pi Nδ=±2mπ
值得注意的是，假设这里的m是N的倍数，则会变成主极大的位置。 1 所以这里对m的范围还有限制： m ≠ k N m\neq kN m=kN
附上图解：（图源华东师范大学波动光学MOOC课件）
而由光栅方程有明纹的位置满足 d sin θ = ± k λ d\sin\theta = \pm k\lambda dsinθ=±kλ , k k k为任意整数。
根据物理意义, 半角宽就是从某一级亮纹到相邻暗纹的距离。根据这个条件列式有：
设半角宽度为 Δ θ \Delta \theta Δθ, 则
明 纹 : d sin θ k = k λ (1) 明纹:d\sin\theta_k = k\lambda \tag{1} 明纹:dsinθk=kλ(1) 相 邻 的 暗 纹 : N d sin ( θ k + Δ θ ) = ( k N + 1 ) λ (2) 相邻的暗纹:Nd\sin(\theta_k+\Delta\theta)=(kN+1)\lambda\tag{2} 相邻的暗纹:Ndsin(θk+Δθ)=(kN+1)λ(2)
利用三角公式有:
N d ( sin θ k cos Δ θ + cos θ k sin Δ θ ) = ( k N + 1 ) λ (3) Nd(\sin\theta_k\cos\Delta\theta+\cos\theta_k\sin\Delta\theta)=(kN+1)\lambda\tag{3} Nd(sinθkcosΔθ+cosθksinΔθ)=(kN+1)λ(3)
并且在 Δ θ \Delta\theta Δθ较小时,有 c o s Δ θ ≈ 1 , sin Δ θ ≈ Δ θ cos\Delta\theta \approx1,\sin\Delta\theta\approx\Delta\theta cosΔθ≈1,sinΔθ≈Δθ; (3)式与(1)式相减就得到半角宽度的表达式:
Δ θ = λ N d cos θ \Delta\theta = \frac{\lambda}{Nd\cos\theta} Δθ=Ndcosθλ
证毕
（至于为什么主极大和极小都满足这个位置条件，最后却成了主极大，简单来说就是衍射因子在上下同时趋于0时，极限趋于1） ↩︎