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1. OTFS输入输出关系的矩阵表示
1.1 OTFS:矩阵表示
- 发送符号的时频域表示:DD域上的ISFFT+海森堡变换+波束整形
- 向量形式:
- 接受符号的DD域表示:时频域上的波束整形+维格纳变换+SFFT
- 向量形式
1.2 OTFS发射机的实现
1.2.1 传统的OTFS调制
M=2048,N=128,其中M表示number of delay bins(subcarriers)N表示number of doppler bins(time slots)即symbols
发射机过程如上图左侧所示(右侧的是IDZT即传统OTFS调制的升级版,后面讲):
-
ISFFT
首先将高阶QAM调制符号放置在DD域的M*N二维网格中
,采用正辛有限傅里叶逆变换(ISFFT)将DD域符号
转换为TF域符号
,变换过程如下:
沿每个多普勒轴的n点ifft和沿每个时延轴的m点fft
【公式1.2.1】
-
海森堡变换
接着对时频域矩阵进行海森堡变换即通过m点ifft
转换为延迟时间域(delay-time)的样本矩阵
公式表示为下式:
【公式1.2.2】
我们可以发现
等价于一个单位阵,因此最后的海森堡变换和上一步ISFFT中的沿时延轴的fft相抵消,简化成了一个离散的Zak变换inverse discrete Zak transform (IDZT),即右侧图像表示的那样:只需要经过沿多普勒轴的n点ifft。
通过对延迟时间矩阵进行发射机脉冲整形,然后进行行向量化,得到NM长度时域样本向量s
【公式1.2.3】
公式1.2.2和1.2.3为一个完整的海森堡变换,然后将时域样本向量s进行DA转换,并以s (t)的形式传输到无线介质中。
其中,对角矩阵Gtx有gtx(t)的样本作为其主对角元素
对于矩形波形,它简化为M×M单位矩阵
1.2.2 基于IDZT的OTFS调制
如下图所示,OTFS调制相当于一个IDZT,将延迟-多普勒域的X转换为延迟-时域的。假设发射的为矩形脉冲整形波形,M=8,N=6。
在图中,延迟多普勒矩阵和延迟时间矩阵被分割为向量和
。
对公式1.2.2进行转置得到
由于IFFT的对称性,IFFT的转置等于本身,然后经过并行到串行转换后,如Gtx = IM,公式1.2.3的时域样本减少为
其中每一个行向量,即每一个s包含了M个时域样本,占用
秒的时间。
从上图中,我们可以直接将公式4.19和公式4,20中的和s关联为(Gtx为单位阵,可以去掉)
s中的元素可以表示为下式
其中q=m+nM,对于m=0,...,M-1;n=0,...,N-1,这正是的IDZT变换
1.3 OTFS接收机的实现
1.3.1 传统的OTFS解调
-
维格纳变换
在接收端,我们得到接收到NM个复杂样本向量表示为
其中对于n=0,1,...,N-1来说, ,向量r被转换为延迟时间矩阵
其中将
转换成M*N的矩阵,同时对角阵Grx是接收机脉冲成形矩阵,由下式定义
对于矩形脉冲整形波形Grx等价于M阶单位阵,因此公式4.24简化为下式
然后,通过对延迟时间样本矩阵沿着时延轴进行m点DFT运算,得到时频域接收样本矩阵
公式(4.24)和(4.26)中的操作构成了维格纳变换。之后再执行一个SFFT操作来获得延迟-多普勒域符号。
-
SFFT
将矩阵沿着时延轴进行m点IDFT运算得到延迟多普勒域矩阵,沿多普勒轴进行n点DFT运算,带有维格纳变换的级联SFFT运算可以简化为
将公式4.46带入4.27可知,SFFT使用的m点IDFT与维格纳变换中的DFT相抵消,因此简化为了DZT运算
1.3.2 基于DZT的OTFS解调
如公式(4.24)和(4.27)所示,OTFS解调相当于一个DZT,将时域内接收到的样本转换为延迟多普勒域符号,下图显示了矩形脉冲整形波形Grx = IM的等效接收操作
在图中,时延多普勒和延迟时间矩阵和
沿着时延轴被分割成了m个向量
,
,其中每个向量都含有N个元素, m=0,1,...,M-1。
取公式(4.27)的转置(DFT的对称性使得其转置为本身)
从图4.7中,我们可以通过(4.24)和(4.28)将r和Y直接联系为
可进一步表示为矩阵元素形式
当m=0,1,...,M-1,n=0,1,...,N-1时,公式4.30即为r的DZT变换,记作
参见第5章,并注意其中使用的延迟和多普勒指数为l,k遵循Zak变换常规符号,与本章中使用的m,n不同
笔者自己的理解
Appendix Matlab Code
A.OTFS参数设置
%-------------------------------------------------------
%参考1.2
%MATLAB代码1 OTFS帧参数设置
%-------------------------------------------------------
% number of Doppler bins (time slots)
N=16;
% number of delay bins (subcarriers)
M=64;
% normalized DFT matrix
Fn=dftmtx(N);
Fn=Fn/norm(Fn);
% subcarrier spacing
delta_f=15e3;
% block duration
T=1/delta_f;
% carrier frequency
fc=4e9;
% speed of light
c=299792458;
% OTFS grid delay and Doppler resolution
delay_resolution = 1/(M*delta_f);
Doppler_resolution = 1/(N*T);
B.发射机
%MATLAB code 2 Generate OTFS frame
% QAM modulation
tx_info_symbols=qammod(tx_info_bits,mod_size,’gray’,’InputType’,’bit’);
% Generate the MxN OTFS delay-Doppler frame
X=reshape(tx_info_symbols,M,N);
% Vectorized OTFS frame information symbols
x=reshape(X.’,N*M,1);
% Method 1 (Eqs. (4.19) and (4.20))
X_tilda=X*Fn’;
s=reshape(X_tilda,1,N*M);
C. 接收机
%% MATLAB code 12 OTFS demodulation
% Method 1 (Eqs. (4.24) and (4.27))
Y_tilda=reshape(r,M,N);
Y=Y_tilda*Fn;
% vectorize Y
y=reshape(Y.’,N*M,1);
注意:这是部分代码~