【数学】凸函数与詹森不等式(琴生不等式)
1 凸函数和凹函数
- 下凸函数(凸函数),从几何意义上看,下凸函数就是任意两点之间的弦(即这两点构成的线段)都在该函数图像(此处是指这两点之间的函数图像,而非全部的函数图像)的上方。
- 上凸函数(也即,凹函数),从几何意义上看,上凸函数就是任意两点之间的弦(即这两点构成的线段)都在该函数图像(此处是指这两点之间的函数图像,而非全部的函数图像)的下方。
2 琴生不等式(詹森不等式)
琴生不等式以丹麦技术大学数学家约翰·延森(John Jensen)命名。它给出积分的凸函数值和凸函数的积分值间的关系。
琴生(Jensen)不等式(也称为詹森不等式),使用时注意前提、等号成立条件。
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对于凸函数:
- 证明:
- 证明:
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对于凹函数(上凸函数),变号即可。