前言

本论文详细分析投影在动坐标系的力矩 $\mathbf{M}$ 和 动量矩 $\mathbf{H}$ 之间的关系。

一、力矩 $\mathbf{M}$ 和 动量矩 $\mathbf{H}$ 是什么？

力矩 $\mathbf{M}$ 是刚体相对于刚体质心的合外力矩，与其各个质量元所受的不经过质心的力及力臂有关；
动量矩 $\mathbf{H}$ 是刚体相对于刚体质心的合外动量矩，与其各个质量元的线速度及力臂有关。

二、力矩 $\mathbf{M}$ 和 动量矩 $\mathbf{H}$ 的关系是什么？

1.坐标系

静坐标系 $\mathcal{S}$：假设为惯性坐标系；

动坐标系 $\mathcal{D}$：原点与刚体质心重合，固连于刚体。

设动坐标系 $\mathcal{D}$ 的 $x$、$y$、$z$ 轴上的单位矢量分别为 $\mathbf{i}$、$\mathbf{j}$、$\mathbf{k}$，要描述这三个矢量，需要投影在某种坐标系上才行。当其投影在静坐标系 $\mathcal{S}$ 上，则数学表示为 ${\mathbf{i}}^{\mathcal{S}}$、${\mathbf{j}}^{\mathcal{S}}$、${\mathbf{k}}^{\mathcal{S}}$。当其投影在动坐标系 $\mathcal{S}$ 上，则数学表示为 ${\mathbf{i}}^{\mathcal{D}}$、${\mathbf{j}}^{\mathcal{D}}$、${\mathbf{k}}^{\mathcal{D}}$。

2.分析

假设刚体内部的质量元为 $\text{d}m$，刚体质心指向此质量元的矢径为 ${\mathbf{r}}_{{}_{\text{d}m}}$，那么 ${\mathbf{H}}^{\mathcal{S}}$ 可以表示为
$${\mathbf{H}}^{\mathcal{S}}={\int }_m{\mathbf{r}}_{{}_{\text{d}m}}^{\mathcal{S}}\times \frac{\text{d}{\mathbf{r}}_{{}_{\text{d}m}}^{\mathcal{S}}}{\text{d}t}\text{d}m$$

已知$${\mathbf{H}}^{\mathcal{S}}=h_x{\mathbf{i}}^{\mathcal{S}}+h_y{\mathbf{j}}^{\mathcal{S}}+h_z{\mathbf{k}}^{\mathcal{S}},{\mathbf{H}}^{\mathcal{D}}=h_x{\mathbf{i}}^{\mathcal{D}}+h_y{\mathbf{j}}^{\mathcal{D}}+h_z{\mathbf{k}}^{\mathcal{D}}=[h_x,h_y,h_z{]}^T$$$${\mathbf{r}}^{\mathcal{S}}=r_x{\mathbf{i}}^{\mathcal{S}}+r_y{\mathbf{j}}^{\mathcal{S}}+r_z{\mathbf{k}}^{\mathcal{S}}$$$${\mathbf{M}}^{\mathcal{S}}=m_x{\mathbf{i}}^{\mathcal{S}}+m_y{\mathbf{j}}^{\mathcal{S}}+m_z{\mathbf{k}}^{\mathcal{S}}$$$${\mathbf{\omega }}^{\mathcal{S}}={\omega }_x{\mathbf{i}}^{\mathcal{S}}+{\omega }_y{\mathbf{j}}^{\mathcal{S}}+{\omega }_z{\mathbf{k}}^{\mathcal{S}}$$其中，${\mathbf{\omega }}^{\mathcal{S}}$ 表示的是动作标系 $\mathcal{D}$ 相对于静坐标系 $\mathcal{S}$ 在静坐标系 $\mathcal{S}$ 中的投影。

可以得到$${\mathbf{M}}^{\mathcal{S}}=\frac{\text{d}{\mathbf{H}}^{\mathcal{S}}}{\text{d}t}=\dot{h_x}{\mathbf{i}}^{\mathcal{S}}+\dot{h_y}{\mathbf{j}}^{\mathcal{S}}+\dot{h_z}{\mathbf{k}}^{\mathcal{S}}+h_x\frac{\text{d}{\mathbf{i}}^{\mathcal{S}}}{\text{d}t}+h_y\frac{\text{d}{\mathbf{j}}^{\mathcal{S}}}{\text{d}t}+h_z\frac{\text{d}{\mathbf{k}}^{\mathcal{S}}}{\text{d}t}$$

注意，我们这里两种求导写法只是区分矢量和标量，由于均投影在静坐标系 $\mathcal{S}$ 中，因此两种在计算上是一样的。如果投影到动作标系中，就不能直接求导计算。

根据泊松公式，可以知道
$$\frac{\text{d}{\mathbf{i}}^{\mathcal{S}}}{\text{d}t}={\mathbf{\omega }}^{\mathcal{S}}\times {\mathbf{i}}^{\mathcal{S}}$$$$\frac{\text{d}{\mathbf{j}}^{\mathcal{S}}}{\text{d}t}={\mathbf{\omega }}^{\mathcal{S}}\times {\mathbf{j}}^{\mathcal{S}}$$$$\frac{\text{d}{\mathbf{k}}^{\mathcal{S}}}{\text{d}t}={\mathbf{\omega }}^{\mathcal{S}}\times {\mathbf{k}}^{\mathcal{S}}$$
则有
$${\mathbf{M}}^{\mathcal{S}}=\frac{\text{d}{\mathbf{H}}^{\mathcal{S}}}{\text{d}t}=\dot{h_x}{\mathbf{i}}^{\mathcal{S}}+\dot{h_y}{\mathbf{j}}^{\mathcal{S}}+\dot{h_z}{\mathbf{k}}^{\mathcal{S}}+{\mathbf{\omega }}^{\mathcal{S}}\times {\mathbf{H}}^{\mathcal{S}}$$

再投影到动作标系 $\mathcal{D}$，则有
$${\mathbf{M}}^{\mathcal{D}}=\dot{h_x}{\mathbf{i}}^{\mathcal{D}}+\dot{h_y}{\mathbf{j}}^{\mathcal{D}}+\dot{h_z}{\mathbf{k}}^{\mathcal{D}}+{\mathbf{\omega }}^{\mathcal{D}}\times {\mathbf{H}}^{\mathcal{D}}$$即$${\mathbf{M}}^{\mathcal{D}}={\dot{\mathbf{H}}}^{\mathcal{D}}+{\mathbf{\omega }}^{\mathcal{D}}\times {\mathbf{H}}^{\mathcal{D}}$$注意：这里都是投影在动作标系的。

总结

以上就是在动坐标系的力矩 $\mathbf{M}$ 和 动量矩 $\mathbf{H}$ 之间的关系的详细推导，最重要的一点在于分清楚坐标系的动和静。