文章目录
前言
投影在本体系上的动量矩定理！
一、动量矩定理
动量矩定理是指 d H i c d t = M i c \frac{\text{d} \boldsymbol{H}^c_i}{\text{d} t}=\boldsymbol{M}^c_i dtdHic=Mic其中， H i c \boldsymbol{H}^c_i Hic 是绕质心的动量矩， M i c \boldsymbol{M}^c_i Mic 是质点系所受合外力对点质心的动量矩。
需要注意的是，严格来说， H i c \boldsymbol{H}^c_i Hic 和 M i c \boldsymbol{M}^c_i Mic 都是投影在同一静坐标系上的，如惯性坐标系。
二、投影在本体系之后的变形
但是在实际应用中， H b c \boldsymbol{H}^c_b Hbc 和 M b c \boldsymbol{M}^c_b Mbc 即投影在本体系是更为合理和方便的。
假设基于惯性系旋转到本体系的旋转矩阵为 R \boldsymbol{R} R，也就是说同一矢量 v \boldsymbol{v} v在惯性系中投影为同一矢量 v i \boldsymbol{v}_i vi，在本体系中投影为同一矢量 v b \boldsymbol{v}_b vb，则有 v b = R v i \boldsymbol{v}_b=\boldsymbol{R}\boldsymbol{v}_i vb=Rvi。
假设本体系相对于惯性系的旋转角速度在本体系中的投影为 ω b \boldsymbol{\omega}_b ωb，那么有 R ˙ = − ω b × R \dot{\boldsymbol{R}}=-\boldsymbol{\omega}_b^{\times}\boldsymbol{R} R˙=−ωb×R，具体见http://t.csdn.cn/eh3la。
H i c = R T H b c \boldsymbol{H}^c_i=\boldsymbol{R}^T\boldsymbol{H}^c_b Hic=RTHbc
R d H i c d t = M b c \boldsymbol{R}\frac{\text{d} \boldsymbol{H}^c_i}{\text{d} t}=\boldsymbol{M}^c_b RdtdHic=Mbc
M b c = R ( − ( ω b × R ) T H b c + R T H ˙ b c ) = R R T ω b × H b c + R R T H ˙ b c = ω b × H b c + H ˙ b c \boldsymbol{M}^c_b=\boldsymbol{R}\left(-\left(\boldsymbol{\omega}_b^{\times}\boldsymbol{R}\right)^T\boldsymbol{H}^c_b+\boldsymbol{R}^T\dot{\boldsymbol{H}}^c_b\right) =\boldsymbol{R}\boldsymbol{R}^T\boldsymbol{\omega}_b^{\times}\boldsymbol{H}^c_b+\boldsymbol{R}\boldsymbol{R}^T\dot{\boldsymbol{H}}^c_b=\boldsymbol{\omega}_b^{\times}\boldsymbol{H}^c_b+\dot{\boldsymbol{H}}^c_b Mbc=R(−(ωb×R)THbc+RTH˙bc)=RRTωb×Hbc+RRTH˙bc=ωb×Hbc+H˙bc
即 M b c = ω b × H b c + H ˙ b c \boldsymbol{M}^c_b=\boldsymbol{\omega}_b^{\times}\boldsymbol{H}^c_b+\dot{\boldsymbol{H}}^c_b Mbc=ωb×Hbc+H˙bc
总结
利用各个矢量在本体系上的投影，我们可以获得： M b c = ω b × H b c + H ˙ b c \boldsymbol{M}^c_b=\boldsymbol{\omega}_b^{\times}\boldsymbol{H}^c_b+\dot{\boldsymbol{H}}^c_b Mbc=ωb×Hbc+H˙bc