01 基础练习
一、z变换性质
1、利用性质求序列的z变换
- 必做题: (1)(3)(5)
- 选做题: (2)(4)
利用性质求解z变换
2、初值和终值
利用 z 变换的初值和终值定理,求解下面序列的初值 x [ 0 ] x\left[ 0 \right] x[0] 已知终值 x [ ∞ ] x\left[ \infty \right] x[∞] 。
- 必做题: (1)(3)
- 选做题: (2)(4)
Z变换初值和终值定理
3、求序列的卷积
利用 z 变换的卷积定理, 求以下序列 x [ n ] , h [ n ] x\left[ n \right],h\left[ n \right] x[n],h[n] 的卷积。
- 必做题
(1)
- 选做题
(2)
应用Z变换求解卷积
4、求序列乘积的 z 变换
已知序列 x [ n ] , h [ n ] x\left[ n \right],h\left[ n \right] x[n],h[n] 的 z 变换为 X ( z ) , H ( z ) X\left( z \right),H\left( z \right) X(z),H(z) 。 利用 z 变换变换域卷积定理求两个序列乘积对应的 z 变换 Z { x [ n ] ⋅ h [ n ] } Z\left\{ {x\left[ n \right] \cdot h\left[ n \right]} \right\} Z{ x[n]⋅h[n]} 。
- 必做题
(1)
(2)
- 选做题
序列乘积的Z变换
5、证明z变换累加特性
已知 Z { x [ n ] } = X ( z ) Z\left\{ {x\left[ n \right]} \right\} = X\left( z \right) Z{ x[n]}=X(z) ,试证明:
Z变换的尺度特性
6、z变换尺度特性
已知 Z { x [ n ] } = X ( z ) Z\left\{ {x\left[ n \right]} \right\} = X\left( z \right) Z{ x[n]}=X(z) ,并且:
求: x 1 [ n ] , x 2 [ n ] x_1 \left[ n \right],x_2 \left[ n \right] x1[n],x2[n] 的 z 变换。
提示: x 1 [ n ] x_1 \left[ n \right] x1[n] 的 z 变换需要应用到如下一个公式, 表示对于序列的抽取:
Z变换的尺度特性
二、求解微分方程和差分方程
1、求解微分方程
应用 Laplace 变换求解下面微分方程, 并求系统的零输入响应和零状态响应。
- 必做题
(1)
- 选做题
(2)
利用LAPLACE变换求解微分方程
2、求解差分方程
应用单边 z 变换求解下列差分方程, 并求出零输入响应、零状态响应。
- 必做题
(1)
- 选做题
(2)
应用Z变换求解差分方程
3、求系统的单位冲激响应
设 LTI 系统在输入信号 x ( t ) = e − t u ( t ) x\left( t \right) = e^{ - t} u\left( t \right) x(t)=e−tu(t) 的激励下, 系统的零状态响应为:
求该系统的单位冲激响应 h ( t ) h\left( t \right) h(t) 。
提示: 单位冲激响应对应的 Laplace 变换 H ( s ) H\left( s \right) H(s) 等于 Y ( s ) / X ( s ) Y\left( s \right)/X\left( s \right) Y(s)/X(s) 。
求解系统单位冲激响应
三、序列的傅里叶变换
求以下序列对应的 DTFT:
序列的傅里叶变换
02 实验作业
一、绘制s平面到z平面的映射
1、实验要求
通过软件编程观察s平面中, 中心在原点,半径不断变化的圆对应的 z 平面上的曲线。 s 复平面与 z 复平面之间的对于关系为: z = e s T s z = e^{sT_s } z=esTs 可以假设其中的采样时间间隔 T s T_s Ts 等于1。
这个问题,最初是由同学提问引起的。 “老师好,请问上课讲的这个的s平面图形是什么样的呀?当时没来得及记下来。”
▲ 图2.1.1 学生的笔记
2、参考Python程序
#!/usr/local/bin/python
# -*- coding: gbk -*-
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# TEST1.PY -- by Dr. ZhuoQing 2021-06-16
#
# Note:
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from headm import *
from tsmodule.tsdraw import *
theta = linspace(0, 2*pi, 25000)
s = [cos(t) + sin(t)*1j for t in theta]
gif = PlotGIF()
for r in linspace(0.1, 10, 100):
z = [exp(ss*r) for ss in s]
plt.clf()
plt.plot(real(z), imag(z))
plt.xlabel("Real")
plt.ylabel("Image")
title = "Ratio:%f"%r
plt.title(title)
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
# plt.show()
plt.draw()
plt.pause(.1)
gif.append(plt)
gif.save(r'd:\temp\1.gif')
#------------------------------------------------------------
# END OF FILE : TEST1.PY
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(1)0<R<10
▲ 图2.1.2 . R在0到10之间变化
(2)0<R<20
▲ 图2.1.3 . R在0到20之间变化
由于从s平面到z平面是多对1的映射,所以绘制这样的关系比较简单。但反过来,从z平面到s平面的映射是1对多的映射,所以绘制对应的曲线稍微麻烦一些。
- 参考文献: s平面上的圆对应的z平面上的图形
■ 相关文献链接:
● 相关图表链接: