1. 引言

stealth addresses为用于cryptocurrency交易中的隐私加强技术，用户可在 不将其public地址暴露在public ledger的情况下，完成cryptocurrency收发。

典型的cryptocurrency交易中，sender必须将其public地址暴露给接收方，同时，也暴露给了任何监听链的人。这将泄露用户隐私和安全性，因为其他人可关联其交易并跟踪其资金。

借助stealth addresses，sender可为每笔交易生成唯一的、一次性的公钥地址，该地址不会关联到其链上的permanent public地址。接收方会将资金存入其permanent public地址中，但接收方仅可关联到发送方的stealth address，并获得相应的资金。

stealth addresses为cryptocurrency交易提供了额外的隐私和安全层，使得第三方更难跟踪和监控链上用户行为。详细也可参看Vitalik 2023年1月博客：An incomplete guide to stealth addresses。

本文探索基于Commutative Supersingular isogenies (CSIDH) 构建Post Quantum版本的stealth addresses。【本解决方案不受 SIDH的新的破坏性攻击 的影响。因为这些攻击主要依赖于 CSIDH的解决方案中不存在的扭点（torsion point）信息。】

关于椭圆曲线密码学的知识可参看：

• Silverman的书本The Arithmetic of Elliptic Curves

关于Isogeny密码学的知识可参看：

• De Feo的2017年论文The Arithmetic of Elliptic Curves

1.1 Commutative Supersingular isogenies (CSIDH)

CSIDH发表于Asiacrypt 2018，其基于某efficient commutative group action，为基于isogeny的post quantum 密钥交换。基于isogenies的group actions以1997年Couveignes的Hard Homogeneous Spaces 论文而闻名。大约10年后，Rostovtsev 和 Stolbunov 重新发现了该思想 PUBLIC-KEY CRYPTOSYSTEM BASED ON ISOGENIES。

Couveignes在其开创性工作中引入了Very Hard Homogeneous Spaces（VHHS）的概念。VHHS是循环群的推广，其computational Diffie-Hellman难题和decisional Diffie-Hellman 难题均是hard的。群中的幂运算（或标量乘法，若使用加法表示法）被集合上的group action所取代。基于isogenies的底层group action的主要hardness假设是，很难颠倒group action：

• Group Action Inverse Problem（GAIP）：已知某曲线$E$，具有$End(E)=O$，找到某ideal $a\subset O$，使得$E=[a]E_0$。

GAIP（也称为矢量化vectorization）可能有点类似于离散对数问题，在本文中，利用这种类比将stealth addresses转换为CSIDH setting。

2. 基于椭圆曲线密码学的stealth addresses

Vitalik 2023年1月博客：An incomplete guide to stealth addresses 中提出了基于椭圆曲线密码学的stealth addresses方案：

• Bob生成某密钥$m$，计算$M=mG$，其中$G$为某椭圆曲线的generator point。stealth meta-address为$M$的编码。
• Alice生成一次性密钥$r$，并发布相应的一次性公钥$R=rG$。
• Alice计算某共享秘密$S=rM$，Bob计算相同的共享秘密$S=mR$。
• 为计算stealth address公钥，Alice或Bob可计算$P=M+hash(S)G$。
• 为计算该stealth address的私钥，Bob（仅Bob）可计算$p=m+hash(S)$。

相应的sage脚本为：

#Alice

#private
r = ZZ.random_element(n)
#publish
R = r*G
Sa = r * M
s = ''
s+=str(R[0])
s+=str(R[1])
s+=str(Sa[0])
s+=str(Sa[1])
h.update(s.encode())

hashS = (int(h.hexdigest(), 16)) % n
Pa  = M + hashS*G 

#Bob
Sb = m*R
Pb = M + hashS*G 
p = m+hashS

assert Sa == Sb
assert Pa == Pb == p*G

3. 基于CSIDH的stealth addreses

本文几乎1：1地将stealth addresses由DLOG setting 转换为 VHHS setting：

• Bob生成某密钥$m$，计算$E_m=[m]E_0$，其中$E_0$为某starting椭圆曲线。stealth meta-address为$M$的编码。
• Alice生成一次性密钥$r$，并发布相应的一次性公钥$E_r=[r]E_0$。
• Alice计算某共享秘密$E_S=[r]E_m$，Bob计算相同的共享秘密$E_S=[m]E_r$。
• 为计算stealth address公钥，Alice或Bob可计算$P=[hash(E_S)]E_m$。
• 为计算该stealth address的私钥，Bob（仅Bob）可计算$p=[m+hash(S)]$。

相应的sage脚本为：

#Bob
#private
m = private()
#public
M = action(base, m)

#private
r =private()
#publish
R = action(base, r)
Sa = action(M, r)

s = ''
s += str(R)
s += str(Sa)
h.update(s.encode())
hashS = (int(h.hexdigest(), 16)) % class_number
hashS_reduced = reduce(hashS,A,B)

P = action(M,hashS_reduced)

#Bob
Sb = action(R, m)
pv = []
for i,_ in enumerate(m):
    pv.append(m[i]+hashS_reduced[i])

assert Sa == Sb
assert P == action(base,pv)

参考资料

[1] 2023年4月 以太坊research Towards practical post quantum stealth addresses