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本次实验实现了基于用户和基于项的协同滤波算法，并在 Movielens 两个较小的数据集上进行了测试，测试采用 RMSE 进行评估

一、问题简述
1.1 推荐系统问题
推荐系统问题旨在用户推荐相关项，项可以是用户未观看过的电影、书籍，未访问过的网站，可以是任何可以购买的产品，实现一种个性化的推荐。

推荐系统可以总结为以下模型： $$\text{Utility Function: }u:X\times S\to R$$ 其中，$X$ 是用户的集合，$S$ 是项的集合，$R$ 是用户对项评分的集合，并且是关于项的有序集。

推荐系统问题主要的问题为：如何为矩阵收集已知的评级，如何从已知的评级中推断未知的评级，如何评估推断的好坏。收集评分可以通过显式收集用户的评分，也可以通过学习用户的行为预测评分；推断未知评分可以使用基于内容、协同相关、基于隐因子（矩阵分解）、基于深度模型的模型甚至混合模型等；评估推断的好坏时可以选择在评分表中划分一块区域用于测试，计算平方根误差（RMSE），Top K 的精确度等。

1.2 协同滤波算法
基于用户的协同滤波算法
第一步：读取用户-项的评分矩阵 $R$。
第二步：跟据评分矩阵计算用户相似度矩阵 $S_U$，在计算相似度时我们选择皮尔森相关系数。我们可以将计算出的评分矩阵保存在文件中，以免下次重复计算。
第三步：假定我们要预测用户 $u$ 给项 $i$ 的评分。首先找到于目标用户最相似的 K 个用户 $U_{sim}$，并且这些用户对项 $i$ 有评分记录，根据以下公式计算预测评分： $$r_{u,i}=\frac{{\sum }_{v\in U_{sim}}{s}_{u,v}{r}_{v,i}}{{\sum }_{v\in U_{sim}}{s}_{u,v}}$$ 其中，$r_{u,i}$ 指用户 $u$ 对项 $i$ 的预测评分，$s_{u,v}$ 指用户 $u$ 和用户 $v$ 的相似度。

基于项的协同滤波算法
第一步：读取用户-项的评分矩阵 $R$。
第二步：跟据评分矩阵计算用户相似度矩阵 $S_I$，在计算相似度时我们选择皮尔森相关系数。我们可以将计算出的评分矩阵保存在文件中，以免下次重复计算。
第三步：假定我们要预测用户 $u$ 给项 $i$ 的评分。首先找到于目标项最相似的 K 个项 $I_{sim}$，并且用户 $u$ 对这些项有评分记录，根据以下公式计算预测评分： $$r_{u,i}=\frac{{\sum }_{j\in I_{sim}}{s}_{i,j}{r}_{v,i}}{{\sum }_{j\in I_{sim}}{s}_{i,j}}$$ 其中，$r_{u,i}$ 指用户 $u$ 对项 $i$ 的预测评分，$s_{i,j}$ 指项 $i$ 和项 $j$ 的相似度。

协同滤波算法的评价
适用场景：
基于用户的协同滤波算法：具备更强的社交特性，适用于用户少物品多，时效性较强的场景。比如新闻、博客、微内容推荐场景。此外基于用户的协同滤波算法能够为用户发现新的兴趣爱好。
基于项的协同滤波算法：更适用于兴趣变化较为稳定的应用，更接近于个性化的推荐，适合物品少用户多，用户兴趣固定持久，物品更新速度不是太快的场合，比如电影推荐。

协同滤波算法的优点：适用于任何类型的项，不需要特征选择
协同滤波算法的缺点：
冷启动问题：对于基于用户的协同滤波算法，需要积累足够多的用户，并且用户有一定评分时才能找到一个用户的相似用户，而基于项的协同滤波算法没有此问题。
稀疏性问题：项的数目一般很多，一个用户对项的评分往往不会很多，评分矩阵是稀疏的，难以找到对相同的项评分过的用户。
新的项、评分较少的项因为评分较少，难以被推荐。