本题见于算法导论第三版习题2-4
题设:对于一个序列a1,a2,a3…an, 若存在i,j,使得i<j且ai>aj,则称为一个逆序对
输入:一个list对象、
输出:list中逆序对数目
分析:一个朴素的想法是这样的:依次遍历list中每一个元素,对每一个元素,查找其之后的每一个元素并与其比较,出现逆序对则计数+1,时间复杂度为O(n^2)——(n-1)+(n-2)+…+1。
但对于这个算法,实际上有隐含的条件被我们忽略了,例如当我们发现a2<a1时,那么对于和a1比较过的所有元素,与a1形成逆序对的所有元素实际上也与a2形成逆序对(除a2外),实际上时间复杂度可以精简到O(nlogn)。
我们可以换一个思路来考虑这个问题:对于一个a1<a2<a3...<an的有序序列,逆序对是为0的,那么我们实际上是要进行一个排序,当发现一次逆序,计数+1,而排序算法的最优解法为O(nlogn)
代码python实现如下——基于分治思想的归并排序,将有序列表和逆序对计数一同返回的递归解法:
def InversionNum(lst): # 改写归并排序,在归并排序中,每当R部分元素先于L部分元素插入原列表时,逆序对数要加L剩余元素数 if len(lst) == 1: return lst,0 else: n = len(lst) // 2 lst1,count1 = InversionNum(lst[0:n]) lst2,count2 = InversionNum(lst[n:len(lst)]) lst,count = Count(lst1,lst2,0) return lst,count1+count2+count def Count(lst1, lst2,count): i = 0 j = 0 res = [] while i < len(lst1) and j < len(lst2): if lst1[i] <= lst2[j]: res.append(lst1[i]) i += 1 else: res.append(lst2[j]) count += len(lst1)-i # 当右半部分的元素先于左半部分元素进入有序列表时,逆序对数量增加左半部分剩余的元素数 j += 1 res += lst1[i:] res += lst2[j:] return res,count print(InversionNum([11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1])) # 输出为:[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11] 55