无限集合
定义
直观定义
不是有限集合的集合,即由无限个元素组成的集合,称为无限集合,简称无限集
用于证明的定义
给定 N k = { 0 , 1 , 2 , ⋯ , k − 1 } , k ∈ Z \mathbf N_k=\{0,1,2,\cdots,k-1\},\ k\in\mathbf Z Nk={ 0,1,2,⋯,k−1}, k∈Z,对于集合 A A A,若对任意 k ∈ Z k\in\mathbf Z k∈Z 都不存在双射函数 f : N k → A f:\mathbf N_k\rightarrow A f:Nk→A,则称 A A A 是无限集
类别
可数集
与自然数集 N \mathbf N N 等势的集合称为可数无限集,简称可数集
如:整数集 Z \mathbf Z Z 是可数集
因为可构造双射函数
f : N → N , f ( x ) = { x 2 , x 为偶数 − x + 1 2 , x 为奇数 f:\mathbf N\rightarrow \mathbf N,\ f(x)=\begin{cases}\frac{x}{2},&x 为偶数\\ -\frac{x+1}{2},&x 为奇数 \end{cases} f:N→N, f(x)={ 2x,−2x+1,x为偶数x为奇数
可数集和有限集统称为至多可数集
关于可数集有如下定理:
- 可数集的任意无限子集是可数集
- 可数个可数集的并是可数集
不可数集
与自然数集 N \mathbf N N 不等势的集合称为不可数无限集,简称不可数集
如:实数集的子集 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1) 为不可数集
用反证法证明
假设 ( 0 , 1 ) ∼ N (0,1)\sim\mathbf N (0,1)∼N
则存在双射函数 f : N → ( 0 , 1 ) f:\mathbf N\rightarrow (0,1) f:N→(0,1)
f ( 0 ) , f ( 1 ) , ⋯ , f ( n ) ∈ ( 0 , 1 ) , ⋯ f(0),f(1),\cdots,f(n)\in(0,1),\cdots f(0),f(1),⋯,f(n)∈(0,1),⋯ 可表示为:
f ( 0 ) = 0. x 00 x 01 x 02 x 03 ⋯ f ( 1 ) = 0. x 10 x 11 x 12 x 13 ⋯ f ( 2 ) = 0. x 20 x 21 x 22 x 23 ⋯ ⋮ \begin{aligned} &f(0)=0.x_{00}x_{01}x_{02}x_{03}\cdots\\ &f(1)=0.x_{10}x_{11}x_{12}x_{13}\cdots\\ &f(2)=0.x_{20}x_{21}x_{22}x_{23}\cdots\\ &~~~~~~~~~~\vdots \end{aligned} f(0)=0.x00x01x02x03⋯f(1)=0.x10x11x12x13⋯f(2)=0.x20x21x22x23⋯ ⋮
构造 y = 0. y 0 y 1 y 2 y 3 ⋯ y=0.y_0y_1y_2y_3\cdots y=0.y0y1y2y3⋯,其中 y i ≠ x i i y_i\neq x_{ii} yi=xii
显然 y ∈ ( 0 , 1 ) y\in(0,1) y∈(0,1),但 ∀ n ∈ N , y ≠ f ( n ) \forall n\in\mathbf N,\ y\neq f(n) ∀n∈N, y=f(n)
因此函数 f f f 不是满射函数,不可能是双射函数,与假设相矛盾
大小(基数或势)
若无限集是可数集,则其大小为阿列夫零,记作 ℵ 0 \aleph_0 ℵ0
如:正整数集 Z \mathbf Z Z 的大小 ∣ Z ∣ = ℵ 0 |\mathbf Z|=\aleph_0 ∣Z∣=ℵ0
若无限集是不可数集,则其大小为阿列夫,记作 ℵ \aleph ℵ
如:实数集的子集 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1) 的大小 ∣ ( 0 , 1 ) ∣ = ℵ |(0,1)|=\aleph ∣(0,1)∣=ℵ
无限集存在与其等势的真子集
A A A 是任意无限集,从 A A A 拿出一系列元素 { a 0 , a 1 , ⋯ , a n , ⋯ } \{a_0,a_1,\cdots, a_n,\cdots\} { a0,a1,⋯,an,⋯} 后剩余元素的集合 B = A − { a 0 , a 1 , ⋯ , a n , ⋯ } B=A-\{a_0,a_1,\cdots, a_n,\cdots\} B=A−{ a0,a1,⋯,an,⋯} 也是无限集,则 A = B ∪ { a 0 , a 1 , ⋯ , a n , ⋯ } A=B\cup\{a_0,a_1,\cdots, a_n,\cdots\} A=B∪{ a0,a1,⋯,an,⋯}
取 C = B ∪ { a 1 , ⋯ , a n , ⋯ } C=B\cup\{a_1,\cdots, a_n,\cdots\} C=B∪{ a1,⋯,an,⋯}(没有 a 0 a_0 a0),显然 C C C 是 A A A 的真子集
可构造双射函数
f : A → C , { f ( x ) = x , x ∈ B f ( a i ) = f ( a i + 1 ) , x ∈ { a 0 , a 1 , ⋯ , a n , ⋯ } f:A\rightarrow C,\ \begin{cases} f(x)=x,&x\in B\\ f(a_i)=f(a_{i+1}),&x\in\{a_0,a_1,\cdots, a_n,\cdots\} \end{cases} f:A→C, { f(x)=x,f(ai)=f(ai+1),x∈Bx∈{ a0,a1,⋯,an,⋯}
因此 C ∼ A C\sim A C∼A
参考
[1] 离散数学西安电子科技大学出版社第二版
[2] 维基百科无限集合