NOTE: 主要是学习期间的代码整理,y总算法基础课
第四讲 数学知识
1. 质数
1.1 试除法判定质数
bool is_prime(int n)
{
if(n < 2) return false;
for(int i = 2; i <= n / i; i++){ // i * i <= n TLE
if(n % i == 0) return false;
}
return true;
}
1.2 试除法分解质因数
void divide(int n)
{
for(int i = 2; i <= n / i; i++){
if(n % i == 0){
int s = 0;
while(n % i == 0){
n /= i;
s++;
}
cout << i << " " << s << endl;
}
}
if(n > 1) cout << n << " " << 1 << endl;
cout << endl;
}
1.3 朴素筛法求素数
int primes[N], cnt;
bool st[N];
// primes[]存储所有素数 st[x]存储x是否被筛掉 cnt 表示的是 1 ~ n 之间
void get_primes(int n)
{
for (int i = 2; i <= n; i ++ )
{
if (st[i]) continue;
primes[cnt ++ ] = i;
for (int j = i + i; j <= n; j += i)
st[j] = true;
}
}
1.4 线性筛法求质数
int primes[N], cnt;
bool st[N];
void get_primes(int n)
{
for (int i = 2; i <= n; i ++ )
{
if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;
for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
{
st[primes[j] * i] = true;
if (i % primes[j] == 0) break;
}
}
}
2. 约数
2.1 试除法求约数
vector<int> get_divisors(int n)
{
vector<int> res;
for(int i = 1; i <= n / i; i++){
if(n % i == 0){
res.push_back(i);
if(i != n / i) res.push_back(n / i);
}
}
sort(res.begin(), res.end());
return res;
}
2.2 约数个数和约数之和
/*
如果 N = p1^c1 * p2^c2 * ... *pk^ck
约数个数: (c1 + 1) * (c2 + 1) * ... * (ck + 1)
约数之和: (p1^0 + p1^1 + ... + p1^c1) * ... * (pk^0 + pk^1 + ... + pk^ck)
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod = 1e9 + 7;
int main()
{
int n;
cin >> n;
unordered_map<int, int> primes;
while(n--){
int x;
cin >> x;
for(int i = 2; i <= x / i; i++){
while(x % i == 0){
x /= i;
primes[i] ++;
}
}
if(x > 1) primes[x]++;
}
long long res = 1; // res -- 约数个数
long long sum = 1; // sum -- 约数之和
for(auto prime : primes){
res = res * (prime.second + 1) % mod;
int fi = prime.first, se = prime.second;
long long t = 1;
while(se--) t = (t * fi + 1) % mod;
sum = sum * t % mod;
}
cout << res << endl;
cout << sum << endl;
return 0;
}
2.3 最大公约数
int gcd(int a, int b)
{
return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
2.4 扩展欧几里得算法
// 求x, y, 使得 ax + by = gcd(a, b)
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
if(!b){
x = 1, y = 0;
return a;
}
int d = exgcd(b, a % b, y, x);
y -= a / b * x;
return d;
}
3. 快速幂
3.1 快速幂板子
ll qpow(ll a, ll b, ll p)
{
ll res = 1;
while(b){
if(b & 1) res = res * a % p;
b >>= 1;
a = a * a % p;
}
return res;
}
3.2 乘法逆元
- 求
a 模 p
的乘法逆元
ll res = qpow(a, p - 2, p);
if(a % p) cout << res << endl;
else cout <<"impossible" << endl;
4. 欧拉函数
4.1 朴素法
int phi(int x)
{
int res = x;
for(int i = 2; i <= x / i; i++){
if(x % i == 0){
res = res / i * (i - 1);
while(x % i == 0) x /= i;
}
}
if(x > 1) res = res / x * (x - 1);
return res;
}
4.2 筛法
int primes[N], cnt; // primes[]存储所有素数
int euler[N]; // 存储每个数的欧拉函数
bool st[N]; // st[x]存储x是否被筛掉
void get_eulers(int n)
{
euler[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i ++ )
{
if (!st[i])
{
primes[cnt ++ ] = i;
euler[i] = i - 1;
}
for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
{
int t = primes[j] * i;
st[t] = true;
if (i % primes[j] == 0)
{
euler[t] = euler[i] * primes[j];
break;
}
euler[t] = euler[i] * (primes[j] - 1);
}
}
}