作为一名通信工程专业的学生，怎么可以不会证明欧拉公式？为了巩固基础，在这里用泰勒级数证明一下欧拉公式。
e z 的泰勒级数展开如下 e z = 1 + z + z 2 2 ! + z 3 3 ! + z 4 4 ! + . . . e^z的泰勒级数展开如下\\e^z=1+z+\frac{z^2}{2!} +\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+... ez的泰勒级数展开如下ez=1+z+2!z2+3!z3+4!z4+...
令 z = j x 令z=jx 令z=jx
e j x = 1 + j x + ( j x ) 2 2 ! + ( j x ) 3 3 ! + ( j x ) 4 4 ! + ( j x ) 5 5 ! + ( j x ) 6 6 ! + . . . = 1 + j x − x 2 2 ! − j x 3 3 ! + x 4 4 ! + j x 5 5 ! − x 6 6 ! + . . . = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + . . . + j ( x − x 3 3 ! + x 5 5 ! + . . . ) = c o s x + j s i n x \begin{aligned} e^{jx}&=1+jx+\frac{(jx)^2}{2!} +\frac{(jx)^3}{3!} +\frac{(jx)^4}{4!} +\frac{(jx)^5}{5!} +\frac{(jx)^6}{6!}+... \\ &=1+jx-\frac{x^2}{2!}- j\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!} +j\frac{x^5}{5!} -\frac{x^6}{6!} +... \\ &=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...+j(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+...) \\ &=cosx+jsinx \end{aligned} ejx=1+jx+2!(jx)2+3!(jx)3+4!(jx)4+5!(jx)5+6!(jx)6+...=1+jx−2!x2−j3!x3+4!x4+j5!x5−6!x6+...=1−2!x2+4!x4−6!x6+...+j(x−3!x3+5!x5+...)=cosx+jsinx
根据cosx和sinx的泰勒展开式，我们可以直接把它写为这个形式
c o s x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + . . . cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+... cosx=1−2!x2+4!x4−6!x6+...
s i n x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! + . . . sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+... sinx=x−3!x3+5!x5+...