题目大意
求满足下列条件的排列$P$的数量：$\forall P_i, P_i>P_{\lfloor \frac{i}{2}\rfloor}$。
思路
从下标入手
反过来想，也就是对$\forall P_i, P_i<P_{2i}且P_i<P_{2i+1}$。因为小根堆中一个“小三角”中节点的编号满足：若顶部编号为$i$，则左下角节点编号为"2i"，右下角为$2i+1$，因此题目就是要让我们求大小为$n$的小根堆的数量。
递归式
因为堆这个结构有“子堆”这个子结构，所以可以递归。定义$l(n)$为大小为$n$的堆的左子堆大小，$f(i)$为大小为$i$，所有节点的值的取值范围一定（但并没有具体指定）时都不相等的堆有多少个。该堆的左子堆的个数等于当左子堆所有节点的值的取值范围的种数（$C_{n-1}^{l(n)}$）乘以当所有节点的值的取值范围一定时的堆数（$f(l(n))$）。分析完左子堆，随后还要乘以右子堆的堆数（$f(r(n))$）。由于左子堆取值范围的种数确定了，右子堆的也确定了，所以不用再次乘以$C_{n-1}^{r(n)}$了。故总递归式为：
$$f(n)=C_{n-1}^{l(n)}f(l(n))f(r(n))$$
注意求组合数时要用Lucas定理取模。
怎么求$l(n),r(n)$？
注意这个没有通项公式，要按照堆的顺序递归解决。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
const int MAX_N = 1000010;
ll F[MAX_N], Fact[MAX_N];
int Size_Lsize[MAX_N], Size_Rsize[MAX_N];
int GetSize(int curNode, int n)
{
if (curNode > n)
return 0;
int lSize = GetSize(curNode * 2, n), rSize = GetSize(curNode * 2 + 1, n), curSize = lSize + rSize + 1;
Size_Lsize[curSize] = lSize, Size_Rsize[curSize] = rSize;
return curSize;
}
void GetFact(int n, int p)
{
Fact[0] = Fact[1] = 1;
for (ll i = 2; i <= n; i++)
Fact[i] = i * Fact[i - 1] % p;
}
ll Mult(ll a, ll b, ll p)
{
ll ans = 0;
while (b)
{
if (b & 1)
ans = (ans + a) % p;
a = (a + a) % p;
b >>= 1;
}
return ans;
}
ll Power(ll a, ll n, ll p)
{
ll ans = 1;
while (n)
{
if (n & 1)
ans = Mult(ans, a, p);
a = Mult(a, a, p);
n >>= 1;
}
return ans;
}
ll Inv(ll a, ll p)
{
return Power(a, p - 2, p);
}
ll Comb(int n, int m, int p)
{
return Fact[n] * Inv(Mult(Fact[n - m], Fact[m], p), p);
}
ll Lucas(int n, int m, int p)
{
if (m == 0)
return 1;
return Comb(n % p, m % p, p) * Lucas(n / p, m / p, p) % p;
}
ll Dfs(int n, int p)
{
if (F[n])
return F[n];
if (n == 1 || n == 0)
return F[n] = 1;
return F[n] = Dfs(Size_Lsize[n], p) * Dfs(Size_Rsize[n], p) % p * Lucas(n - 1, Size_Lsize[n], p) % p;//易忘点：Dfs后的%p
}
int main()
{
int n;
ll p;
scanf("%d%lld", &n, &p);
GetSize(1, n);
GetFact(n, p);
printf("%lld\n", Dfs(n, p));
return 0;
}