概率

概率是对某一特定事件发生的可能性的数值度量

4.1 试验、计数法则和概率分配

试验：可以产生明确结果的过程定义为试验

样本空间：试验的样本空间是试验所用可能组成的一个集合

4.1.1 计数法则、组合和排序

三种计数法则：

多步骤试验的计数法则：如果一个试验可以分为循序的k个步骤，在第一步中有$n_1$个试验结果， 第2步中有$n_2$个试验结果 以此类推 那么所有可能的试验结果的总数为$n_1\times n_2\times...\times n_k$

典型案例：树形图

组合计数法则：从N项中任取n项的组合数为 $C_n^N = \frac {N!}{n!(N-n)!}$

考虑结果的一致 不考虑选取的顺序 唯一

排列计数法则：从N项中任取n项的排列数 $P_n^N = \frac {N!}{(N-n)!}$

4.1.2 概率分配

概率分配的基本条件：

1. 分配给每个试验结果的概率值都必须在0和1之间

2. 所有试验结果的概率之和必须为1

古典法：当各种试验结果是等概率发生时，适合采用古典法进行概率分配

相对频数法：适用于大量重复进行 并且能够取得试验结果发生比率的数据

主观法：当不能假定试验结果是等可能发生的时候 可以采用主观法为试验结果分配概率

4.2 事件及其概率

样本点和事件是研究概率论的基础

事件：事件是样本点的一个集合

事件的概率：事件的概率等于事件中所有样本点的概率之和

4.3 概率的基本性质

4.3.1 事件的补

事件A的补 定义为：所有不包含在事件A中的样本点

$P(A) + P(A^c) = 1$

4.3.2 加法公式

两个事件的并：A和B的并是所有的属于A或B或同时属于二者的样本点构成的事件 记作 $A \cup B$

两个事件的交：给定两个事件A和B 则A和B的交是同时属于A和B的样本点构成的事件 记作 $A \cap B$

加法公式： $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

互斥事件：如果两个事件没有公共的样本点 则称这两个事件互斥

4.4 条件概率

假设事件A发生的概率为$P(A)$，如果获得了新的信息–确知另一个事件B已经发生 我们希望利用这一新的信息来重新计算事件A发生的可能性。

此时， 事件A发生的可能性叫做条件概率 记作$P(A \mid B)$,读作”事件B发生的条件下事件A发生的概率“

条件概率： $P(A \mid B) = \frac {P(A \cap B)}{P(B)}$ 或 $P(B \mid A) = \frac {P(A \cap B)}{P(A)}$

相应事件：事件A发生的概率受到事件B发生与否的影响

4.4.1 独立事件

两个事件A和B是相互独立的， $P(A \mid B) = P(A)$ 或 $P(B \mid A) = P(B)$

4.4.2 乘法公式

$P(A \cap B) = \frac {P(B)} {P(A \mid B)}$ 或者 $P(A \cap B) = \frac {P(A)} {P(B \mid A)}$

独立事件的乘法公式： $P( A \cap B) = P(A)P(B)$

4.5 贝叶斯定理

通常，在开始分析时 总是对所关心的特定事件估计一个初始（先验概率）。然后，当我们从样本、专项报告或产品检验中获取了有关该事件新的信息，就能根据这些新增信息计算修正概率对先验概率进行更新，得到后验概率，应用贝叶斯定理 可以计算出后验概率

贝叶斯定理：

$P(A_i \mid B) = \frac {P(A_i)P(B \mid A_i)}{P(A_1)P(B \mid A_1) + P(A_2)P(B \mid A_2) + ... P(A_n)P(B \mid A_n)}$