1096: [ZJOI2007]仓库建设
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Description
L公司有N个工厂,由高到底分布在一座山上。如图所示,工厂1在山顶,工厂N在山脚。由于这座山处于高原内
陆地区(干燥少雨),L公司一般把产品直接堆放在露天,以节省费用。突然有一天,L公司的总裁L先生接到气象
部门的电话,被告知三天之后将有一场暴雨,于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于
地形的不同,在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件,在第i个工厂位置建立仓库
的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂,其产品应被运往其他的仓库进行储藏,而由于L公司产品的对外销售处设
置在山脚的工厂N,故产品只能往山下运(即只能运往编号更大的工厂的仓库),当然运送产品也是需要费用的,
假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的,可以容下所有的产品。你将得到
以下数据:1:工厂i距离工厂1的距离Xi(其中X1=0);2:工厂i目前已有成品数量Pi;:3:在工厂i建立仓库的费用
Ci;请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案,使得总的费用(建造费用+运输费用)最小。
Input
第一行包含一个整数N,表示工厂的个数。接下来N行每行包含三个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。
Output
仅包含一个整数,为可以找到最优方案的费用。
Sample Input
3
0 5 10
5 3 100
9 6 10
Sample Output
32
HINT
在工厂1和工厂3建立仓库,建立费用为10+10=20,运输费用为(9-5)*3 = 12,总费用32。如果仅在工厂3建立仓库,建立费用为10,运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57,总费用67,不如前者优。
【数据规模】
对于100%的数据, N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内,保证中间计算结果不超过64位带符号整数。
题解
斜率优化DP。
首先,我们思考普通的DP,定义 f[i] 表示前 i 个点,其中第 i 个点建工厂的最优解。
其中的
为题目描述中 p 数组的前缀和。
设
设
OK,现在我们可以开始斜率优化了。
设 选 j 比选 k 好(j > k)
······ s[i] 可以直接消掉
······ 移项
······ 合并同类项并移项得到式子
设
也就是
时,对于 f[i] 的前一状态选择,j 比 k 好。
明显具有单调性,所以我们可以用单调栈来维护。
什么时候推队首即 q[head]?如果 q[head] 不如 q[head+1],因为 p[i] 递增,所以选 q[head] 永远不如选 q[head+1]。
什么时候推队尾即 q[tail] ? 如果
那么
- ,那么 比 好,同理,永远也不可能取 。
-
,那么
的确比 i 好,但是由于
所以必有 所以 一定比 好。
代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define LL long long
#define DB double
#define F(x) (f[x]+sp[x])
using namespace std;
const int maxn=1e6+6;
int n,q[maxn],til,hea,c[maxn],x[maxn];
LL f[maxn],s[maxn],p[maxn],sp[maxn];
int read()
{
int ret=0,f=1;char ch=getchar();
while (ch<'0'||ch>'9') {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
while (ch>='0'&&ch<='9') ret=ret*10+ch-'0',ch=getchar();
return ret*f;
}
DB xie(int i,int j){return (F(i)-F(j))*1.0/(s[i]-s[j]);}
int main()
{
n=read();
for (int i=1;i<=n;i++) x[i]=read(),s[i]=s[i-1]+(p[i]=read()),c[i]=read(),sp[i]=sp[i-1]+x[i]*p[i];
for (int i=1;i<=n;i++)
{
while (hea<til&&xie(q[hea],q[hea+1])<x[i]) hea++;
f[i]=F(q[hea])-sp[i]+(s[i]-s[q[hea]])*x[i]+c[i];
while (hea<til&&xie(i,q[til])<xie(q[til],q[til-1])) til--;
q[++til]=i;
}
printf("%lld",f[n]);
return 0;
}