牛客网0x01 基本算法-位运算

【牛客】A. a^b%p

求 a 的 b 次方对 p 取模的值，其中 0 <= a,b,p <= $10^9$, p>0

输入描述:
三个用空格隔开的整数a,b和p。

输出描述:
一个整数，表示 $a^b$ $mod$ $p$ 的值。

示例输入

2 3 9

输出

8

题解

简单理解版：
只考虑实现a的b次方：快速幂
计算 $a^b$，如果把 $b$ 写成 2 进制，如 13 的二进制 1101，于是 3 号位 、2号位、0号位就都是1，那么就可以得到 13 = $2^3$ + $2^2$ + $2^1$ = 8 + 4 + 1。所以 $a^{13}$ = $a^8$ * $a^4$ * $a^1$。

核心一：
把 $b$ 转换成二进制，然和将 $b$ 的二进制数从右到左判断，如果判断为1，则 ans 乘上当前的次方。eg： $3^5$-> $3^{101}$：第零位表为1，则 ans 就要乘 $a^{2^0}$，然后第一位为0，不操作，第二位为1，ans乘上 $a^{2^2}$。程序中：ans = 1(ans的初始值) * $a^{2^0}$ （第一次操作） * $a^{2^2}$（第二次操作）

核心二：
每次循环的时候不管要不要对ans进行操作，都要对 a 进行一次操作，即a = a * a，假如到了第 n 轮循环，此时正在判断 b 的二进制的第 n-1 位是否为1。又因为 a 在第一次进入循环时，为$a^1$ ，即$a^{2^0}$ ,那么第n次循环就是$a^{2^{n-1}}$，正好 b 正在判断第 n-1 位，此时如果为1，则直接将ans = ans * a 即可。

public class Solution {
    
    
    public static void main(String[] args) {
    
    
        Scanner in = new Scanner(System.in);

        long a, b, p, ans = 1;
        a = in.nextLong();
        b = in.nextLong();
        p = in.nextLong();

        //首先可以将a的b次方转化为二进制表示，然后用一个b&1的与运算，判断一下该二进制表示下第i位是否为1，如果为1结果为true，否则为false，
        while (b != 0) {
    
    
//            System.out.println("当前a为：" + a);
//            System.out.println("当前b为：" + Long.toString(b, 2));

            //b转二进制数，最后一位是1
            if ((b % 2 ) != 0) {
    
            //或者(b & 1) ==1 //b转为2进制后当前为是1，需要乘上
                ans = ans * a ;
//                System.out.println("当前ans为：" + ans);
            }
            a = a * a ;
            //b右移一位
            b >>= 1;
        }

        System.out.println(ans % p);
    }
}

进阶为了不让大数爆掉，变为快速幂：

import java.util.Scanner;

public class Solution {
    
    
    public static void main(String[] args) {
    
    
        Scanner in = new Scanner(System.in);

        long a, b, p, ans = 1;
        a = in.nextLong();
        b = in.nextLong();
        p = in.nextLong();

        //首先可以将a的b次方转化为二进制表示，然后用一个b&1的与运算，判断一下该二进制表示下第i位是否为1，如果为1结果为true，否则为false，
        while (b != 0) {
    
    
            //b转二进制数，最后一位是1
            if ((b % 2 ) != 0) {
    
            //或者(b & 1) ==1 //b转为2进制后当前为是1，需要乘上
                ans = ans * a % p;      //取余p是为了防止程序爆掉
            }
            a = a * a % p;              //取余p是为了防止程序爆掉
            //b右移一位
            b >>= 1;
        }
        System.out.println(ans % p);
    }
}