多元多项式

n元单项式

• 设P是一个数域,$x_i,i=1,2,\cdots ,n$是n个文字,形如$a{\prod }_{i=1}^n{x}_i^{k_i}$的式子(其中$a\in P$,$k_i,i=1,2,\cdots ,n$是非负整数),称为一个单项式

单项式次数

• $K={\sum }_{i=1}^n{k}_i$称为单项式的次数

• 若两个单项式中的相同文字的幂$k_i,i=1,2,\cdots ,n$全一样,则它们为同类项

n元多项式

• 若干单项式的和称为"$n$元多项式",或者简称多项式

  • $$\begin{gathered} f(x_1,\cdots ,x_n)=\sum _{k_1,\cdots ,k_n}{a}_{k_1{k}_2\cdots k_n}\prod _{i=1}^n{x}_i^{k_i} \\ f(x_1,\cdots ,x_n)=\sum _{j=1}^m{a}_j\prod _{i=1}^n{x}_i^{k_i} \end{gathered}$$

• 例如

  • $5x_1^3{x}_2{x}_3^2+4x_1^2{x}_2^2{x}_3$

齐次多项式

• 若多项式$f(X)={\sum }_{i=1}^n{f}_i(X)$的每个单项式$f_i(X)$的次数都等于m,则称$f(X)$为m次齐次多项式
  • 例如:$f(X)=2x_1{x}_2{x}_3^2+x_1^2{x}_2^2$是一个4次齐次多项式
• 两个齐次多项式之积仍然式齐次多项式:$f_1(X),f_2(X)$分别是$m_1,m_2$次齐次多项式,则$f(X)=f_1(X)f_2(X)$是齐$m_1+m_2$次多项式

n元多项式环

• 所有系数在数域P中的n元多项式全体,称为数域P上的$n$元多项式环,记为$P[x_1,\cdots ,x_n]$
• 当一个多项式表示为一些不同类型的单项式的和,其中系数不为0的单项式的最高次数称为(代表)这个多项式的次数
• 例如$5x_1^3{x}_2{x}_3^2+4x_1^2{x}_2^2{x}_3$的次数为6

字典排列法

• 这种方法模仿字典排列的原则得出

单项式对应的数组(元组)

• 每一类单项式都对应于一个$n$元有序数组$(k_1,k_2,\cdots ,k_n)$,简写作$(k_i)$,其中$k_i\in {\mathbb{N}}^{+},i=1,2,\cdots ,n$
• 设有数组,$K=(k_i),L=(l_i),i=1,2,\cdots ,n$,
• 它们的差数组记为$({\delta }_i)=(k_i-l_i),i=1,2,\cdots ,n$
• 例:$2x_1{x}_2^2{x}_3^3$对应的n元数组为$(1,2,3)$

基于数组定义的字典排序规则

• 若$\exists i⩽n$,s.t. ${\delta }_j=0,j=1,2,\cdots ,i-1$,$k_i-l_i>0$,则称元组$(k_i)$先于$(l_i)$,记为$K>L$或展开地记为$(k_1,\cdots ,k_n)>(l_1,\cdots ,l_n)$,这里$>$称为先于号
• 例如$(1,3,2)>(1,2,4)$
• 例如:$2x_1{x}_2^2{x}_3^3+x_1^2{x}_2+x_1^3$包含的3项分别记为$f_1,f_2,f_3$对应的3个元组分别为$(1,2,3)$,$(2,1,0)$,$(3,0,0)$,可知$f_3>f_2>f_1$
  • 从而其字典序写法为$x_1^3+x_1^2{x}_2+2x_1{x}_2^2{x}_3^3$
• 由字典排序规则的定义可知,次数高的项不一定先于次数第的项,需要结合各元之间的权重判断,例如$x_1{x}_2{x}_3$,一般认为$w(x_1)>w(x_2)>w(x_3)$

先后关系和传递性

• 根据定义,任何两个数组$K,L$先后关系只可能存在以下三种可能中的一种(和数的大小关系相仿):
  • $K<L$
  • $K=L$
  • $K>L$
• 先于号具有传递性,若$K>L,L>M$,则$K>L>M,K>M$
  • 证明:
    • 由条件得$k_i-l_i>0$,$l_i-m_i>0$,有$k_i-m_i=(k_i-l_i)+(l_i-m_i)>0$,所以$K>M$

首项

• 按字典排列法写出的第一个系数不为0的单项式称为多项式的首项
  • 例如:$x_1^3+x_1^2{x}_2+2x_1{x}_2^2{x}_3^3$的首项就是$x_1^3$

首项分解定理

• 记号说明:令$X=(x_1,\cdots ,x_n)$是一个n元元组,$f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$可以记为$f(X)$
• 定理:当$f(X),g(X)\ne 0$时,乘积$f(X)g(X)$的首项等于$f(X)$的首项和$g(X)$的首项之积
• 证明:
  • 设$f(X)$的首项为$a_n=a{\prod }_{i=1}^n{x}_i^{p_i},a\ne 0$;$g(X)$的首项为$b_n=b{\prod }_{i=1}^n{x}_i^{q_i},b\ne 0$
  • 记$s_n=a_n{b}_n=ab{\prod }_{i=1}^n{x}_i^{p_i+q_i}$;$h(X)=f(X)g(X)$
  • 为了证明$s_n$是$h(x)$的首项,只需要证明${\delta }_0=(p_i+q_i),i=1,2,\cdots ,n$先于$h(X)$中其他单项式所对应的有序数组即可
    • $a_n,b_n$的元组分别为$(p_i),(q_i),i=1,2,\cdots ,n$
    • 设$f(X),g(X)$非首项($a_n$,$b_n$)中的第j项对应的元组为$(l_{ji}),(k_{ji}),j=1,2,\cdots ,n-1;i=1,2,\cdots ,n$
      • 不强调第j项时可以简写为$(l_i),(k_i)$
    • 有$(p_i)>(l_i)$,$(q_i)>(k_i)$
    • ${\delta }_0$之外的有序数组有3类可能:${\delta }_1$=$(p_i+k_i)$,${\delta }_2$=$(l_i+q_i)$,${\delta }_3$=$(l_i+k_i)$,$i=1,2,\cdots ,n$
      • 根据乘法分配律,$f(X)={\sum }_{j=1}^m{a}_j{\prod }_{i=1}^n{x}_i^{k_i}$,$g(X)={\sum }_{j=1}^m{b}_j{\prod }_{i=1}^n{x}_i^{k_i}$,$h(X)=f(X)g(X)$的展开式,无论是否合并同类项,各项的对应的元组只可能时${\delta }_i,i=0,1,2,3$这些情况
      • 而${\delta }_0>{\delta }_1,{\delta }_2,{\delta }_3$因此$s_n$就是$h(X)$的首项
    • Note:实际上,有${\delta }_0>{\delta }_1,{\delta }_2>{\delta }_3$

推论

• 若$f_i\ne 0(i=1,2,\cdots ,m)$则$F_m={\prod }_{i=1}^m{f}_i$的首项$A_m$等于$f_i$的首项$a_{in}(i=1,2,\cdots ,m)$的乘积${\prod }_{i=1}^m{a}_{in}$
• 证明:由数学归纳法容易证明
  • m=2时,由本节定理,结论显然成立
  • 设$m=k$时结论成立,则$A_k$=${\prod }_{i=1}^k{a}_{in}$
    • 当$m=k+1$时,$F_{k+1}={\prod }_{i=1}^{k+1}{f}_i$=$f_{k+1}{\prod }_{i=1}^k{f}_i$,由本节定理,$F_{k+1}$的首项$A_{k+1}$=$a_{k+1,n}{A}_k$代入归纳假设条件,有${\prod }_{i=1}^{k+1}{a}_{in}$
    • 而$f_i,i=1,2,\cdots ,k+1$首项的乘积也是${\prod }_{i=1}^{k+1}{a}_{in}$
    • 所以命题成立

推论

• 若$f(X),g(X)\ne 0$,则$f(X)g(X)\ne 0$

m次多项式的m个不同次齐次成分求和表示

• 任何$m$次多项式$f(X),X=(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$都可以唯一地表示为$f(X)={\sum }_{i=0}^m{f}_i(X)$,其中:

  • $f_i(X)$是$i$次齐次多项式,称为$f(X)$的$i$次齐次成分

• 结论表明,m次多项式$f(X)$可以表示为$m+1$个齐次多项式之和,并且这m个齐次多项式的次数分别是$0,1,2,\cdots ,m$地互不相同

• 若$g(X)={\sum }_{j=0}^l{g}_j(X)$,是一个$l$次多项式,那么乘积$h(X)=f(X)g(X)$的$k$次齐次成分$h_k(X)={\sum }_{i+j=k}{f}_i(X)g_j(X)$, k ∈ { 0 , 1 , 2 , ⋯   , m + l } k\in\{0,1,2,\cdots,m+l\} k∈{ 0,1,2,⋯,m+l}

  • 特别地,$h(X)$的最高齐次成分为$h_{m+l}(X)=f_m(X)g_l(X)$,这是一个$m+l$次齐次多项式
    • 由齐次展开$f_p(X)>f_q(X),p>q$;$g_r(X)>g_s(X),r>s$,因此$h_{m+l}(X)$是唯一的最高次(m+l)次项,其余项的次数严格小于$m+l$
  • 可见,多元多项式乘积的次数等于因子的次数之和,和一元多项式相仿.

• 例如,$f(X)=x_1^3{x}_2^2{x}_3+2x_1^2{x}_2^3{x}_3+x_1^2{x}_2^2{x}_3+3x_1{x}_2^2{x}_3^3+5x_1{x}_2^2{x}_3^0$是一个符合字典排列的多项式

  • 用齐次成分求和表示法:$f(X)={\sum }_{i=0}^6{f}_i(X)$
    • $f_0(X)=0$
    • $f_1(X)=0$
    • $f_2(X)=0$
    • $f_3(X)=5x_1{x}_2{x}_3^0$
    • $f_4(X)=0$
    • $f_5(X)=x_1^2{x}_2^2{x}_3$
    • $f_6(X)=x_1^3{x}_2^2{x}_3+2x_1^2{x}_2^3{x}_3+3x_1{x}_2^2{x}_3^3$